Question

Система уравнений x^2+y^2=20 xy=6 Помогите подробно решить

Answer 1

1) x² + y² = 20

2) x*y = 6

3) y = 6/x

4) y² = 36/x²

5) x² + 36/x² = 20 делаем замену переменой - z = x²

6) z² - 20*z + 36 = 0 - квадратное уравнение.

7) D = 256, √D = 16,  z1 = 2, z2 = 18 - возвращаемся к подстановке.

8)  x₁ = √2, x₂ = - √2, x₃ = √18 = 3√2, x₄ = - 3√2 - четыре корня - ОТВЕТ

9)  y₁ = 6/x₁ = 3√2, y₂ = - 3√2 , y₃ = √2, y₄ = - √2 - четыре корня - ОТВЕТ

В приложении график  функции - х*у = 6 - гипербола.

Второй график - окружность - R = 2√5 ≈4,47. Их точки пересечения уже найдены.

Answer 2

Для решения системы уравнений x^2 + y^2 = 20 и xy = 6, можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных. Давайте воспользуемся методом подстановки.

Шаг 1: Решение уравнения xy = 6 относительно одной из переменных.

Мы можем выразить одну переменную через другую из уравнения xy = 6. Давайте выразим x из этого уравнения:

xy = 6 x = 6/y

Шаг 2: Подстановка выражения для x в первое уравнение.

Теперь, когда у нас есть выражение для x через y, мы можем подставить его в первое уравнение:

x^2 + y^2 = 20 (6/y)^2 + y^2 = 20

Теперь у нас есть одно уравнение с одной переменной y.

Шаг 3: Решение квадратного уравнения.

Преобразуем уравнение (6/y)^2 + y^2 = 20, чтобы решить его:

(36/y^2) + y^2 = 20 36 + y^4 = 20y^2 y^4 - 20y^2 + 36 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно y^2. Решим его с помощью обычных методов решения квадратных уравнений:

y^2 = (20 ± √(20^2 - 4136)) / 2 y^2 = (20 ± √(400 - 144)) / 2 y^2 = (20 ± √256) / 2 y^2 = (20 ± 16) / 2

Теперь найдем два возможных значения для y:

1. y^2 = (20 + 16) / 2 = 36 / 2 = 18
2. y^2 = (20 - 16) / 2 = 4 / 2 = 2

Шаг 4: Нахождение соответствующих значений x.

Теперь, когда у нас есть два значения для y, найдем соответствующие значения для x, используя уравнение x = 6/y:

1. При y^2 = 18: x = 6 / √18 ≈ 6 / 4.24 ≈ 1.415 x ≈ -1.415 (поскольку это квадратное уравнение, у нас может быть два значения для x при одном значении y)

2. При y^2 = 2: x = 6 / √2 ≈ 6 / 1.41 ≈ 4.243 x ≈ -4.243

Итак, у нас есть четыре решения системы уравнений:

1. x ≈ 1.415, y ≈ √18
2. x ≈ -1.415, y ≈ √18
3. x ≈ 4.243, y ≈ √2
4. x ≈ -4.243, y ≈ √2

Обратите внимание, что второе уравнение может быть решено иным способом с помощью метода исключения переменных, но подстановка также дает нам правильные ответы.