Question

Петя и Вася играют. На столе лежат две кучки камней — в одной 100 штук, а в другой — 79. Ходят по очереди, начинает Петя. За ход игрок одну из куч убирает со стола целиком, а оставшуюся кучу делит на столе на две кучи произвольным образом. Проигрывает тот, у кого нет хода (остались две кучи по 1 камню). Кто может обеспечить себе победу и как ему играть?

Answer 1

Обеспечить себе победу может начинающий (Петя). Первым ходом он убирает кучу из 79  камней, а кучу из 100 камней делит на части 1 и 99. Вася вынужден убрать кучу из 1 камня (она не  делится на части). Как бы Вася не разделил кучу из 99 камней на две части, в одной будет нечётное  число камней, а в другой — чётное. Тогда Петя снова уберёт кучу с нечётным числом камней, а кучу с  чётным числом поделит на две — из одного камня и из нечётного числа камней. Видно, что у Пети  всегда есть ход, и так как число камней уменьшается, в какой-то момент он оставит Васе две кучи по 1  камню и выиграет.

Answer 2

Давайте рассмотрим эту игру. На данный момент на столе есть две кучки камней: одна из 100 камней и другая из 79 камней.

Пусть первый ход делает Петя. Чтобы обеспечить себе победу, он должен всегда играть так, чтобы после своего хода количество камней в кучках было одинаковым. Таким образом, он должен стремиться к тому, чтобы каждая кучка содержала одинаковое количество камней.

Игра может развиваться следующим образом:

1. Петя забирает 79 камней из первой кучки, теперь у нас есть две кучки: 21 камень и 79 камней.
2. Вася забирает 20 камней из кучки, содержащей 79 камней, и делит её на две кучки с произвольным числом камней. Теперь у нас есть три кучки: 21 камень, k1 камень и k2 камней (где k1 + k2 = 59).
3. Петя делает так, чтобы k1 и k2 были одинаковыми, и забирает все камни из одной из этих кучек. Теперь у нас есть две кучки: 21 камень и 0 камней.
4. Вася забирает 20 камней из кучки, содержащей 21 камень, и делит её на две кучки с произвольным числом камней. Теперь у нас есть три кучки: k3 камень, k4 камня и 0 камней (где k3 + k4 = 1).
5. Теперь Петя просто повторяет такой ход, чтобы оставшиеся две кучки всегда содержали по одному камню, пока не останется две кучки по одному камню.

Таким образом, Петя всегда может обеспечить себе победу, если будет играть правильно, следуя стратегии, описанной выше.