Question

Производная неявной функции (y^2)/4-(x^2)/9=1 Найти y'(0)

Answer 1

$(\frac{ {y}^{2} }{4})' \: - (\frac{ {x}^{2} }{9})'= (1)' \\ \frac{2y}{4} y' - \frac{2x}{9} = 0 \\y' = \frac{2x}{9} \div \frac{y}{2} \\ y' = \frac{4x}{9y} \\ y'(0) = \frac{4 \times 0}{9y} = 0$

Answer 2

Для нахождения производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования неявных функций. Для начала, давайте найдем первую производную уравнения:

$\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{9} = 1.$

Шаг 1: Дифференцируем обе части уравнения по переменной x.

$\frac{d}{dx} \left( \frac{y^2}{4} \right) - \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{9} \right) = \frac{d}{dx}(1).$

Шаг 2: Производные слева будут:

Используем правило дифференцирования сложной функции. Пусть $u = y^2$, тогда $\frac{du}{dy} = 2y$, а затем применяем правило дифференцирования по переменной x для $u$.

$\frac{d}{dx} \left( \frac{y^2}{4} \right) = \frac{du}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = 2y \cdot \frac{dy}{dx}.$

Аналогично, для второго слагаемого:

$\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{9} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{9}x^2 \right) = \frac{1}{9} \cdot 2x = \frac{2x}{9}.$

Так как $\frac{d}{dx}(1) = 0$, уравнение становится:

$2y \cdot \frac{dy}{dx} - \frac{2x}{9} = 0.$

Шаг 3: Теперь найдем производную $\frac{dy}{dx}$:

$2y \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{9}.$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{9 \cdot 2y}.$

Шаг 4: Чтобы найти $y'(0)$, подставим x = 0 в полученное выражение:

$y'(0) = \frac{2 \cdot 0}{9 \cdot 2y(0)} = 0.$

Таким образом, $y'(0) = 0$.