Question

При каких значениях параметра р система уравнений имеет одно решение х2+у2=7 у - х=р

Answer 1

ДАНО

x² + y² = 7 - окружность радиуса R = √7

y = x + p - прямая с наклоном - k = 1.

Рисунок к задаче в приложении.

РЕШЕНИЕ

Касательная и радиус перпендикулярны.

R =√7- катет, р =  ОР = √7*√2 - гипотенуза (≈3,74).

ОТВЕТ: р = +/- √14 - два варианта касания.

Answer 2

Дана система уравнений:

1. x^2 + y^2 = 7
2. y - x = р

Для того чтобы система имела одно решение, два уравнения должны задавать одну и ту же прямую и второе уравнение должно быть линейно зависимо от первого.

Из уравнения (2) можно выразить y через x: y = x + р.

Подставим это значение y в уравнение (1): x^2 + (x + р)^2 = 7.

Раскроем скобки: x^2 + (x^2 + 2рх + р^2) = 7.

Объединим все члены и перепишем уравнение в виде квадратного уравнения: 2x^2 + 2рх + (р^2 - 7) = 0.

Чтобы система имела одно решение, это квадратное уравнение должно иметь ровно один корень. Это будет выполняться, если дискриминант квадратного уравнения равен нулю:

Дискриминант (D) равен: D = (2р)^2 - 4 * 2 * (р^2 - 7) = 4р^2 - 8р^2 + 56.

Уравнение D = 0: 4р^2 - 8р^2 + 56 = 0.

Решим это уравнение: -4р^2 + 56 = 0, -4р^2 = -56, р^2 = 14, р = ±√14.

Таким образом, при значениях параметра р равных ±√14, система имеет одно решение.