Question

Помогите пожалуйста решить пример дифференциального уравнения: y''+2y'+5y=-Cosx Желательно с очень подробным описанием.

Answer 1

У+2у+5у=-соsx
8y=-cosx
y=
$\frac{ \cos(x) }{?8}$

Answer 2

Конечно, давайте решим данное дифференциальное уравнение шаг за шагом.

Дифференциальное уравнение, которое дано, имеет вид:

y'' + 2y' + 5y = -cos(x)

где y'' - вторая производная y по x, y' - первая производная y по x, а cos(x) - косинус x.

Чтобы решить это уравнение, мы будем использовать метод неопределенных коэффициентов, предполагая, что решение имеет вид y(x) = Ae^(rx), где A и r - неизвестные коэффициенты, которые нам нужно найти. После подстановки этого вида решения в уравнение, мы определим значения A и r.

1. Подстановка решения y(x) = Ae^(rx) в дифференциальное уравнение:

y'' + 2y' + 5y = -cos(x)

Ae^(rx) * r^2 + 2Ae^(rx) * r + 5Ae^(rx) = -cos(x)

2. Факторизация общего множителя Ae^(rx):

Ae^(rx) * (r^2 + 2r + 5) = -cos(x)

3. Теперь у нас есть равенство, которое должно выполняться для всех x. Чтобы уравнение было верным при всех x, коэффициенты при одинаковых степенях e^(rx) и cos(x) должны быть равными.

Это приводит к следующей системе уравнений:

a) r^2 + 2r + 5 = 0 - уравнение для определения r. б) A = -1 - коэффициент при cos(x).

4. Решение уравнения (a) для r:

Для этого уравнения используем квадратное уравнение. Найдем дискриминант D:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = 2 и c = 5.

D = 2^2 - 4 * 1 * 5 D = 4 - 20 D = -16

Так как D < 0, уравнение имеет комплексные корни. Пусть r1 и r2 будут комплексными корнями:

r1 = (-b + √D) / 2a r1 = (-2 + √(-16)) / 2 * 1 r1 = (-2 + 4i) / 2 r1 = -1 + 2i

r2 = (-b - √D) / 2a r2 = (-2 - √(-16)) / 2 * 1 r2 = (-2 - 4i) / 2 r2 = -1 - 2i

5. Найдем коэффициент A:

Мы уже знаем, что A = -1, так как это коэффициент при cos(x).

6. Итоговое решение:

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y(x) = A1 * e^(r1 * x) + A2 * e^(r2 * x) - cos(x)

где A1 и A2 - произвольные постоянные, а r1 и r2 - комплексные числа:

r1 = -1 + 2i r2 = -1 - 2i

Теперь, если у вас есть начальные условия (например, значения y(0) и y'(0)), вы можете использовать их, чтобы определить конкретные значения A1 и A2 и получить частное решение. Если начальные условия отсутствуют, то это общее решение данного дифференциального уравнения.