Question

Доказать теорему о свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника

Answer 1

Для доказательства свойства биссектрисы равнобедренного треугольника, предположим, что у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Пусть BD - биссектриса угла B, и точка D лежит на стороне AC. Нам нужно доказать, что BD = CD.

Для начала, давайте обратим внимание на некоторые известные свойства биссектрисы. Биссектриса угла делит его на два равных угла. Таким образом, у нас имеются следующие равенства углов:

∠ABD = ∠CBD ............(1) (Углы, образованные биссектрисой) ∠ADB = ∠CDB ............(2) (Углы, образованные биссектрисой)

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABD и треугольник CBD. У нас есть:

∠ABD + ∠ADB + ∠BAD = 180° ............(3) (Сумма углов треугольника ABD) ∠CBD + ∠CDB + ∠BCD = 180° ............(4) (Сумма углов треугольника CBD)

Равнобедренный треугольник означает, что AB = AC. Также, треугольники ABD и CBD имеют общую сторону BD. Это позволяет нам сделать следующие замечания:

AB = AC ............(5) (Равные стороны в равнобедренном треугольнике) BD = BD ............(6) (Тривиальное равенство)

Теперь объединим все наши уравнения:

AB = AC BD = BD ∠ABD = ∠CBD ∠ADB = ∠CDB

Рассмотрим треугольник ABD и треугольник CBD. По свойству вертикальных углов (если две прямые пересекаются, вертикальные углы равны), у нас есть:

∠ABD = ∠CBD

Теперь по теореме углового суммирования в треугольниках (сумма углов треугольника равна 180°), мы можем написать:

∠ABD + ∠ADB + ∠BAD = 180° ∠CBD + ∠CDB + ∠BCD = 180°

Подставим равенства углов из уравнений (1) и (2):

∠ABD + ∠CDB + ∠BAD = 180° ∠CBD + ∠ADB + ∠BCD = 180°

Теперь заметим, что в обоих уравнениях у нас есть сумма углов треугольника ABD и треугольника CBD, то есть 180°. Это означает, что оставшиеся углы ∠BAD и ∠BCD равны:

∠BAD = ∠BCD

Таким образом, мы показали, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Но это возможно только тогда, когда боковые стороны также равны. Следовательно, BD = CD, что и требовалось доказать.