Question

Докажите, что выражение (7у²-9у+8) -(3у²-6у+4) +3у приобретает положительного значения при любом значении y. Какого наименьшего значения приобретает это выражение и при каком значении y?

Answer 1

$(7y^2-9y+8)-(3y^2-6y+4)+3y=4y^2-3y+4+3y=4y^2+4=4(y^2+1)$

При любом y данное выражение никогда не будет отрицательным (потому что квадрат числа не может быть отрицательным, а действий со знаком минусом в выражении тоже нет, либо альтернативное объяснение - дискриминант квадратного уравнения 4(y^2+1) меньше нуля, а, значит, функция на всем промежутке больше нуля)

Наименьшее значение выражения достигается при y=0, то есть равно 4

Answer 2

Для доказательства того, что выражение (7у²-9у+8) - (3у²-6у+4) + 3у принимает положительное значение при любом значении y, давайте просто проанализируем его.

Выражение (7у²-9у+8) - (3у²-6у+4) + 3у можно упростить:

1. (7у²-9у+8) - (3у²-6у+4) + 3у
2. Раскрываем скобки: = 7у² - 9у + 8 - 3у² + 6у - 4 + 3у
3. Сгруппируем одинаковые степени у: = (7у² - 3у²) + (-9у + 6у + 3у) + (8 - 4)
4. Упростим: = 4у² - у + 4

Теперь мы видим, что данное выражение является квадратным трёхчленом (квадратичной функцией) с положительным коэффициентом при у². Это означает, что график этой функции имеет форму параболы, направленной вверх.

Таким образом, при любом значении у, выражение (7у²-9у+8) - (3у²-6у+4) + 3у будет принимать положительное значение.

Для нахождения наименьшего значения этого выражения, мы должны найти вершину параболы. Для квадратного трёхчлена вида ax² + bx + c, координаты вершины находятся по формулам:

x = -b / (2a) y = a * (x)² + b * x + c

В нашем случае a = 4, b = -1:

x = -(-1) / (2 * 4) = 1 / 8 y = 4 * (1/8)² - (1/8) + 4 = 1/32 + 32/32 = 33/32

Таким образом, наименьшее значение выражения составляет 33/32, и это значение достигается при y = 1/8.