Question

Даны вершины треугольника ABC: A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3). Найти: а) уравнения стороны AB б) уравнения высоты CH в) уравнения медианы AM г) точку N пересечения медианы AM и высоты CH д) уравнения прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне AB е) расстояние от точки С до прямой AB A(−3, −3) B(5, −7) C(7, 7)

Answer 1

РЕШЕНИЕ силой Разума - "ответ Замятина" - графическое, но и не без формул.

1) Строим треугольник на координатной плоскости Рисунок к задаче в приложении.

а) Уравнение стороны АВ - Y=k*x+b.

к = ΔY/ΔX = (Ay-By)/(Ax-Bx) = 4/(-8) = - 1/2 - наклон.

b = Ay - k*Ax = - 4 1/2 - сдвиг

Уравнение АВ -  Y = - 0.5*x- 4.5 - сторона - ОТВЕТ

б) Уравнение высоты СН. (точка Н на рисунке не показана)

Высота - перпендикулярна стороне АВ.

k2 = - 1/k = - 1/(-1/2) = 2 -  наклон перпендикуляра

b = Сy - k2*Cx = 7 - 2*7 =  - 7 - формула выше

Уравнение СН = у = 2*x - 7 - высота - ОТВЕТ.

в) Уравнение медианы АМ. Точка М - середина ВС.

М = (В+С)/2 - середина отрезка.

Мy = 0, Mx = 6 и получили точку М(6;0).

Уравнение прямой АМ - по пункту 1)

Уравнение АМ -  у = 1/3*x - 2 - медиана - ОТВЕТ

г) Точка пересечения двух прямых - решение системы из двух уравнений прямых. Записываем уравнения прямых в параметрической форме:

1)  2*х - у = 7 - уравнение высоты СН

2) х - 3*у = 6 - уравнение медианы АМ

Решаем ...... и получаем Nx= 3 Ny = -1

N(3;-1) - точка пересечения - ОТВЕТ

д) Параллельно АВ -  с тем же наклоном, как и у прямой АВ.

к(АВ) = - 0,5 - (пункт 1) - наклон

b = (для точки С) = 7 - (-0,5)*7 = 10,5 - сдвиг

(точка F - на рисунке не обозначена).

Уравнение СF - y - 0.5*x+ 10.5 - параллельная - ОТВЕТ

е) Расстояние между точками - по теореме Пифагора.

Вычисляем длину высоты СН - расстояние до прямой АВ.

CH²  = (Cy-Hy)² + (Cx-Hy)²

CH² = (7-(-5))² + (7-1)² = 12²+6² = 144+36 = 180

L(CH) = √180 - расстояние - ОТВЕТ (≈ 13.416)

Задание выполнено.

Answer 2

Чтобы найти уравнения стороны AB, высоты CH, медианы AM и точку N пересечения медианы AM и высоты CH, а также уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB и расстояние от точки C до прямой AB, выполним следующие шаги:

1. Уравнение стороны AB: Сначала найдем координаты вектора AB (AB_x, AB_y), который будет равен (x2 - x1, y2 - y1), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты вершин A и B соответственно. AB_x = 5 - (-3) = 8 AB_y = -7 - (-3) = -4

Теперь у нас есть координаты вектора AB, и уравнение прямой, проходящей через точки A и B, можно записать в общем виде: AB_y = k_AB * AB_x + b_AB

где k_AB - угловой коэффициент (наклон прямой), b_AB - свободный член (отсечение прямой с осью y).

Для нахождения k_AB и b_AB подставим координаты одной из вершин (A или B) в уравнение и решим систему уравнений.

Возьмем точку A(-3, -3): -3 = k_AB * (-3) + b_AB

Теперь найдем k_AB: k_AB = (AB_y) / (AB_x) = (-4) / (8) = -1/2

Теперь найдем b_AB: -3 = (-1/2) * (-3) + b_AB -3 = 3/2 + b_AB b_AB = -3 - 3/2 = -9/2

Таким образом, уравнение стороны AB: AB_y = (-1/2) * AB_x - 9/2

2. Уравнение высоты CH: Высота CH проведена из вершины C перпендикулярно стороне AB. Для того чтобы найти уравнение высоты CH, нам нужно найти координаты вектора, перпендикулярного AB, и используя точку C(7, 7), записать уравнение прямой в общем виде: CH_y = k_CH * CH_x + b_CH

Перпендикулярный вектор к AB будет иметь координаты (-AB_y, AB_x): Perpendicular_x = -(-4) = 4 Perpendicular_y = 8

Теперь найдем k_CH: k_CH = (Perpendicular_y) / (Perpendicular_x) = 8 / 4 = 2

Теперь найдем b_CH, используя точку C(7, 7): 7 = 2 * 7 + b_CH 7 = 14 + b_CH b_CH = 7 - 14 = -7

Таким образом, уравнение высоты CH: CH_y = 2 * CH_x - 7

3. Уравнение медианы AM: Медиана AM проходит через вершину A и середину стороны BC. Найдем координаты точки M, которая является серединой отрезка BC: M_x = (x2 + x3) / 2 = (5 + 7) / 2 = 6 M_y = (y2 + y3) / 2 = (-7 + 7) / 2 = 0

Теперь найдем координаты вектора AM (AM_x, AM_y), который будет равен (M_x - x1, M_y - y1): AM_x = 6 - (-3) = 9 AM_y = 0 - (-3) = 3

Уравнение медианы AM: AM_y = k_AM * AM_x + b_AM

Для нахождения k_AM и b_AM подставим координаты вершины A(-3, -3) в уравнение и решим систему уравнений:

-3 = k_AM * 9 + b_AM

Теперь найдем k_AM: k_AM = (AM_y) / (AM_x) = 3 / 9 = 1/3

Теперь найдем b_AM: -3 = (1/3) * 9 + b_AM -3 = 3 + b_AM b_AM = -3 - 3 = -6

Таким образом, уравнение медианы AM: AM_y = (1/3) * AM_x - 6

4. Точка N пересечения медианы AM и высоты CH: Для того чтобы найти точку N, нужно решить систему уравнений медианы AM и высоты CH:

AM_y = (1/3) * AM_x - 6 CH_y = 2 * CH_x - 7

Подставим уравнение медианы в уравнение высоты:

(1/3) * AM_x - 6 = 2 * CH_x - 7

Теперь подставим координаты точки M(6, 0) в уравнение медианы AM:

0 = (1/3) * 6 - 6 0 = 2 - 6 0 = -4

Таким образом, точка M(6, 0) лежит на медиане AM.

Теперь найдем координаты точки N, используя уравнение высоты:

CH_y = 2 * CH_x - 7

Подставим значение x из точки M(6, 0) в уравнение высоты:

0 = 2 * CH_x - 7 2 * CH_x = 7 CH_x = 7 / 2 = 3.5

Теперь найдем CH_y, используя уравнение высоты:

CH_y = 2 * CH