Question

98 баллов (4^x-8)^2-10|4^x-8|=3*4^x-36

Answer 1

task/30362718   (4ˣ -8)² - 10|4ˣ -8| =3*4ˣ - 36  

решение  замена :  t = 4ˣ  

(t -8)² - 10|t -8| =3t - 36

а)  t < 8

(t - 8)²+10(t - 8) =3t - 36 ⇔t²- 16t + 64 + 10t - 80 - 3t + 36= 0 ⇔

t²-9t +20 =0 ⇒[ t=4 ; t=5.    * * *  4; 5 ∈ (-∞ ,8)  * * *  [ 4ˣ  = 4 ; 4ˣ =5 . ⇔

[ x =1 ; x =lg5 / lg4 .        

б)  t ≥  8

(t - 8)²- 10(t - 8) = 3t - 36 ⇔ t² - 16t + 64 - 10t + 80 - 3t +36 = 0 ⇔

t²-29t +180 =0    || D =29² -4*180 =(30-1)² -720 =841 -720 =121 =11² ||

t₁,₂= (29 ±11)/2 .   [ t =9 ; t =20 .    * * *  9 ; 20  ∈ [ 8 ;∞) * * *

[4ˣ =9 ; 4ˣ =20 . ⇔

[ x =lg9 / lg4 =   lg3 / lg2  ; x =lg20 / lg4    = (1+lg2)/2lg2 .

ответ :  1 ;  lg5 / lg4 ;  lg9 / lg4 ;  lg20 / lg4  .

* * * 4ˣ =4 ; 4ˣ =5 ; 4ˣ =9 ; 4ˣ =20 * * *

Answer 2

Для решения уравнения, давайте начнем с преобразования его к более простому виду. Обратите внимание, что у нас есть выражения вида (4^x - 8). Давайте введем новую переменную y = 4^x - 8, тогда уравнение примет вид:

(4^x - 8)^2 - 10|4^x - 8| = 3 * 4^x - 36

Становится:

y^2 - 10|y| = 3 * (y + 8)

Теперь разберемся с модулем. У нас есть два случая: когда y >= 0 и y < 0.

Случай 1: y >= 0

Тогда модуль упрощается до просто y:

y^2 - 10y = 3 * (y + 8)

Теперь решим квадратное уравнение:

y^2 - 10y - 3y - 24 = 0

y^2 - 13y - 24 = 0

Факторизуем:

(y - 16)(y + 3) = 0

Таким образом, y может быть 16 или -3.

Случай 2: y < 0

Тогда модуль становится -y:

y^2 + 10y = 3 * (y + 8)

Теперь решим квадратное уравнение:

y^2 + 10y - 3y - 24 = 0

y^2 + 7y - 24 = 0

Факторизуем:

(y + 4)(y - 7) = 0

Таким образом, y может быть -4 или 7.

Теперь вернемся к исходной переменной x:

Случай 1:

4^x - 8 = 16

4^x = 24

x = log_4(24)

Случай 2:

4^x - 8 = -3

4^x = 5

x = log_4(5)

Случай 3:

4^x - 8 = -4

4^x = 4

x = log_4(4)

Случай 4:

4^x - 8 = 7

4^x = 15

x = log_4(15)

Пожалуйста, заметьте, что логарифмы могут быть записаны в приближенной форме, если точные значения нам не нужны. Однако, для точных ответов, необходимо вычислить численные значения логарифмов.