Question

Ох уж эти тригонометрические функции, как же я их обожаю, помогите плиз) Решите уравнение: 1)cos4x*cosx+sinx *sin4x=√3/2 Найти множество решений уравнения: 1)cos3x+cosx=0 2)3+sin2x=4sin²x

Answer 1

смотри решение в фото

Answer 2

Конечно, помогу вам решить эти уравнения с тригонометрическими функциями.

1. Решим уравнение: cos(4x)*cos(x) + sin(x)*sin(4x) = √3/2

Используем тригонометрические формулы: cos(a - b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b) cos(a + b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)

Также, помним, что cos(π/6) = √3/2

Преобразуем левую часть уравнения, используя эти формулы: cos(4x)*cos(x) + sin(x)*sin(4x) = cos(4x - x) = cos(3x)

Теперь уравнение принимает вид: cos(3x) = √3/2

Чтобы найти множество решений, найдем все значения x, удовлетворяющие условию.

Поскольку cos(π/6) = √3/2, решением будет: 3x = π/6 + 2π*k, где k - целое число

Теперь найдем значения x: x = (π/6)/3 + 2πk/3 x = π/18 + 2πk/3

Множество решений: {π/18 + 2π*k/3}, где k - целое число.

2. Решим уравнение: cos(3x) + cos(x) = 0

Используем тригонометрические формулы: cos(a - b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)

Преобразуем левую часть уравнения, используя эту формулу: cos(3x) + cos(x) = cos(3x - x) = cos(2x)

Теперь уравнение принимает вид: cos(2x) = 0

Чтобы найти множество решений, найдем все значения x, удовлетворяющие условию.

Так как cos(π/2) = 0, решением будет: 2x = π/2 + π*k, где k - целое число

Теперь найдем значения x: x = (π/2)/2 + πk/2 x = π/4 + πk/2

Множество решений: {π/4 + π*k/2}, где k - целое число.

3. Решим уравнение: 3 + sin(2x) = 4*sin^2(x)

Сначала преобразуем правую часть: 4sin^2(x) = 4(1 - cos^2(x))

Теперь уравнение принимает вид: 3 + sin(2x) = 4 - 4*cos^2(x)

Перенесем все в одну сторону: 4*cos^2(x) + sin(2x) - 1 = 0

Заменим sin(2x) на 2sin(x)cos(x): 4cos^2(x) + 2sin(x)*cos(x) - 1 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его:

Пусть t = cos(x)

4t^2 + 2t - 1 = 0

Для решения квадратного уравнения, можно воспользоваться дискриминантом:

D = b^2 - 4ac D = 2^2 - 44(-1) = 4 + 16 = 20

Теперь найдем значения t (cos(x)) с помощью квадратного уравнения: t = (-b ± √D) / (2*a) t = (-2 ± √20) / 8 t = (-2 ± 2√5) / 8

1. t = (-2 + 2√5) / 8 = (1 - √5) / 4
2. t = (-2 - 2√5) / 8 = (-1 - √5) / 4

Теперь найдем значения x, используя обратные тригонометрические функции:

1. x = arccos((1 - √5) / 4)
2. x = arccos((-1 - √5) / 4)

Множество решений: {arccos((1 - √5) / 4), arccos((-1 - √5) / 4)}