Question

Математика Вуз: cos^(2)x*y`=√(y)*tgx y`+y tgx=(1+x)cosx Это дифференциальные уравнения. Помогите пожалуйста.

Answer 1

Посмотрите предложенный вариант, ответы отмечены цветным.

Answer 2

Да, это система дифференциальных уравнений с переменными разделяющимися, которые можно решить методом разделения переменных. Давайте пошагово решим эту систему.

1. Рассмотрим первое уравнение: cos^2(x) * y' = √(y) * tg(x).

Сначала разделим обе части уравнения на √(y) и cos^2(x):

y' / √(y) = tg(x) / cos^2(x).

2. Теперь возьмем интеграл от обеих частей уравнения по переменной x:

∫ (y' / √(y)) dx = ∫ (tg(x) / cos^2(x)) dx.

3. Левую часть интегрируем с помощью замены переменной. Пусть z = √(y), тогда z^2 = y и dz = (1/2) * y^(-1/2) * y' dx:

∫ (2 dz) = ∫ (tg(x) / cos^2(x)) dx.

4. Проинтегрируем правую часть:

2z = ∫ (tg(x) / cos^2(x)) dx.

Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям: ∫ u dv = uv - ∫ v du, где u и v - функции от x. Для этого выберем u = tg(x) и dv = 1 / cos^2(x) dx.

Тогда du = sec^2(x) dx и v = ∫ sec^2(x) dx = tg(x).

5. Подставим полученные значения в правую часть:

2z = tg(x) * tg(x) - ∫ tg(x) * sec^2(x) dx.

6. Выразим ∫ tg(x) * sec^2(x) dx:

Используем замену переменной: u = tg(x), du = sec^2(x) dx.

∫ tg(x) * sec^2(x) dx = ∫ u du = u^2 / 2 = (tg^2(x)) / 2.

7. Подставим обратно в уравнение:

2z = tg^2(x) - (tg^2(x)) / 2.

8. Упростим правую часть:

2z = (2tg^2(x)) / 2 - (tg^2(x)) / 2 = tg^2(x).

9. Теперь выразим z (т.е. √(y)):

z = tg^2(x) / 2.

10. Выразим y:

y = z^2 = (tg^2(x) / 2)^2 = (tg^2(x))^2 / 4 = tg^4(x) / 4.

Таким образом, получили решение первого уравнения: y = tg^4(x) / 4.

Теперь перейдем ко второму уравнению: y' + y * tg(x) = (1 + x) * cos(x).

Подставим найденное значение y в уравнение:

tg^4(x)/4 + (tg^4(x)/4) * tg(x) = (1 + x) * cos(x).

Simplify:

tg^4(x)/4 + tg^5(x)/4 = (1 + x) * cos(x).

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

tg^4(x) + tg^5(x) = 4 * (1 + x) * cos(x).

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной tg(x), его можно решить численными методами, например, методом Ньютона.

После нахождения решения tg(x), можно найти y, используя выражение, которое мы ранее получили: y = tg^4(x) / 4.