Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-4,y=x+2. Напишите решение. Спасибо

Answer 1

Ответ: $6\frac{1}{6}$

Пошаговое объяснение:

Найдем точки пересечения двух линий:

x^2 - 4 = x + 2

x^2 - x - 6 = 0

По теореме Виета x1 = -2 x2 = 3

Значит наша фигура ограничена слева прямой x = -2, справа x =3,

снизу линией x^2 - 4, сверху прямой y = x + 2

Для нахождения площади этой фигуры находим интеграл:

$S_{D} =\int\limits^3_{-2}dx\int\limits^{x+2}_{x^{2}-4}{}\,dy=\int\limits^{3}_{-2}(x+2-x^{2}+4)dx=\int\limits^{3}_{-2}(-x^{2}+x+6)dx=(-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+6x)\left\{{{3} \atop{-2}}\right.=-9+\frac{9}{2}+18+\frac{8}{3}+2-12=6\frac{1}{6}$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и вычислить интеграл от разности функций между этими точками.

Дано две кривые:

1. y = x^2 - 4
2. y = x + 2

Найдем точки их пересечения: Поскольку обе функции равны y, приравниваем их друг к другу: x^2 - 4 = x + 2

Теперь приведем уравнение к квадратному виду: x^2 - x - 6 = 0

Решим квадратное уравнение: (x - 3)(x + 2) = 0

Таким образом, x = 3 и x = -2 - это точки пересечения кривых.

Теперь найдем площадь между этими кривыми. Для этого возьмем определенный интеграл от разности функций между точками пересечения:

Площадь = ∫[от -2 до 3] (x^2 - 4 - (x + 2)) dx

Вычислим интеграл: ∫[от -2 до 3] (x^2 - 4 - x - 2) dx ∫[от -2 до 3] (x^2 - x - 6) dx

Теперь возьмем интеграл каждого члена: (1/3)x^3 - (1/2)x^2 - 6x |[от -2 до 3]

Подставим верхний и нижний пределы: = [(1/3)(3)^3 - (1/2)(3)^2 - 6(3)] - [(1/3)(-2)^3 - (1/2)(-2)^2 - 6(-2)] = [1/3(27) - 1/2(9) - 18] - [-8/3 + 2 - (-12)] = [9 - 4.5 - 18] - [8/3 + 2 + 12] = [-13.5] - [26/3] = -13.5 + 26/3 = -13.5 + 8.66666667 ≈ -4.83333333

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 4 и y = x + 2, составляет приблизительно -4.83 квадратных единиц (площадь не может быть отрицательной, поэтому возможно, была допущена ошибка в вычислениях).