Question

1)найти экстремум функции z=xy при условии x+y=1 2)найти наибольшее и наименьшее значение функции z=^2-2xy-y^2+4x+1 в областе : x+y-10=0 y=0 x=5

Answer 1

Решение. Область представляет собой часть параболы, лежащую ниже оси ОХ, точки пересечения с осью М1(-1,0) и М2(1,0). Найдём критические точки: ∂z/∂x=2x-y ; ∂z/∂y=x ; 2x-y=0 ; x=0 : y=0 ; М0(0,0)-критическая точка, лежащая внутри области. Найдём критические точки на границе области.  

Если y=4x²-4 : z=x²+x(4x ²-4)-2=x²+4x³+4x-2 ; z ‘=2x+12x²-4 ; 2x+12x²-4=0 ; 6x²+x-2=0; x1=-2/3 ; x2=0,5, соответствующие точки М3(-2/3, 20/9) , М4(0,5 ,-3) , пусть теперь у=0 (ось ОХ) : z=-2, здесь критических точек нет. Теперь найдём значения z во всех указанных точках и выберем наибольшее и наименьшее : z(M0)=z(0,0)=-2 ;  

z(M1)=z(-1,0)=-1 ; z(M2)=z(1,0)=-1 ;  

z(M3)=z(-2/3, 20/9)=-82/27≈-3,037;  

z(M4)=z(0,5 ; -3)=-13/4≈-3,25 ; Ответ: zнаим. =z(0,5 ; -3)=-3,25 ;zнаиб. =z(-1,0)=z(1,0)=-1  

Answer 2

Для решения задачи на нахождение экстремума функции с ограничением (условием) воспользуемся методом множителей Лагранжа. Для заданной функции z = xy и условия x + y = 1, введем множитель Лагранжа λ и составим функцию Лагранжа:

L(x, y, λ) = xy + λ(x + y - 1)

Теперь найдем частные производные функции L по x, y и λ и приравняем их к нулю, чтобы найти стационарные точки:

∂L/∂x = y + λ = 0 ∂L/∂y = x + λ = 0 ∂L/∂λ = x + y - 1 = 0

Решим эту систему уравнений. Сложим первые два уравнения:

y + λ + x + λ = 0 x + y + 2λ = 0

Так как x + y = 1 по условию, подставим это значение:

1 + 2λ = 0 λ = -1/2

Теперь найдем x и y, подставляя λ в любое из первых двух уравнений:

y - 1/2 = 0 y = 1/2

x - 1/2 = 0 x = 1/2

Таким образом, единственная стационарная точка, удовлетворяющая условию x + y = 1, это x = 1/2, y = 1/2.

Для определения, является ли эта точка экстремумом, нужно проанализировать её вторые производные. Для этого найдем частные производные второго порядка:

∂²L/∂x² = 0 ∂²L/∂y² = 0 ∂²L/∂x∂y = 1

Теперь составим матрицу Гессе и найдем её определитель в точке (1/2, 1/2):

| 0 1 | | 1 0 |

det(H) = 0 - 1 = -1

Так как определитель отрицателен, это говорит о наличии седловой точки в точке (1/2, 1/2).

Теперь перейдем ко второй задаче. Вам дана функция z = x^2 - 2xy - y^2 + 4x + 1 с ограничениями x + y - 10 = 0 и y = 0, x = 5. Сначала рассмотрим условие y = 0 и x = 5:

z = 5^2 - 2 * 5 * 0 - 0^2 + 4 * 5 + 1 z = 25 + 20 + 1 z = 46

Теперь учитываем ограничение x + y - 10 = 0:

y = 10 - x

Теперь подставим это значение y в исходную функцию z:

z = x^2 - 2x(10 - x) - (10 - x)^2 + 4x + 1 z = x^2 - 20x + 2x^2 - (100 - 20x + x^2) + 4x + 1 z = x^2 - 20x + 2x^2 - 100 + 20x - x^2 + 4x + 1 z = 2x^2 + 4x - 99

Теперь найдем экстремумы этой функции, приравняв её производную к нулю:

dz/dx = 4x + 4 = 0 4x = -4 x = -1

Теперь найдем значение y:

y = 10 - x y = 10 - (-1) = 11

Таким образом, единственная стационарная точка, удовлетворяющая ограничениям, это x = -1, y = 11.

Теперь проверим, является ли это точка экстремумом, проанализировав вторые производные:

d²z/dx² = 4 d²z/dy² = 0 d²z/dxdy = 0

Матрица Гессе:

| 4 0 | | 0 0 |

Определитель матрицы Гессе равен 0, что не позволяет нам определить тип точки (минимум, максимум или седловая точка) только на основе вторых производных.

Для окончательного определения типа точки (максимум, минимум, седловая точка) нужно проанализировать поведение функции в окрестности данной точки, например, с помощью графика или дополнительных аналитических методов.