Question

Lg((x-5)/(x^2-10x+24)) найти область определения функции

Answer 1

$\frac{ln(x-5)}{x^{2}-10x+24}$

Преобразуем уравнение для того, чтобы решить относительно  x.

x−5>0

Прибавим  5  к обеим сторонам уравнения.

x>5

Решение включает все истинные интервалы

x>5

Преобразуем уравнение для того, чтобы решить относительно  x.

$x^{2}$+10x+24=0

Разложим  $x^{2}$+10x+24  на множители с помощью группировки.

Рассмотрим    $x^{2}$+bx+c. Найдем пару целых чисел, произведение которых равно  c, а сумма равна  b. В данном случае произведение равно  24, а сумма равна  10.

4;6=0

Запишем разложение на множители, используя эти целые числа.

(x+4)(x+6)=0.

Приравняем  x+4  к  0, затем решим относительно  x.

Приравняем множитель к  0.

x+4=0

Вычтем  4 из обеих частей уравнения.

x=−4.

Приравняем  x+6  к  0, затем решим относительно  x.

Приравняем множитель к  0.

x+6=0

Вычтем  6  из обеих частей уравнения.

x=−6.

Решение является результатом  x+4=0  и  x+6=0.

x=−4;−6.

Областью определения являются все значения  x, которые делают выражение определенным.

(5;∞)

{x|x>5}

Answer 2

Логарифм частного равен разности логарифмов. Следовательно по определению логарифмов имеем область определения для каждого логарифма и находим пересечение множеств.

Answer 3

To find the domain of the function f(x) = lg((x-5)/(x^2-10x+24)), we need to consider two main aspects:

1. The argument of the logarithm must be positive.
2. The denominator cannot be zero.

Let's analyze each condition separately:

1. The argument of the logarithm must be positive: For the logarithm function to be defined, the argument inside the logarithm (x-5)/(x^2-10x+24) must be greater than zero. In other words:

(x - 5) / (x^2 - 10x + 24) > 0

To solve this inequality, we need to find the critical points where the expression equals zero and then test the regions between these critical points. The denominator (x^2 - 10x + 24) factors as (x - 6)(x - 4), so the expression can be written as:

(x - 5) / [(x - 6)(x - 4)] > 0

Now, let's analyze the sign of the expression (x - 5) / [(x - 6)(x - 4)] in different intervals:

• Interval 1: x < 4 Test point: x = 0 (choose any value less than 4) (0 - 5) / [(0 - 6)(0 - 4)] = (-5) / (6 * 4) = -5/24 (negative)

• Interval 2: 4 < x < 5 Test point: x = 4.5 (choose any value between 4 and 5) (4.5 - 5) / [(4.5 - 6)(4.5 - 4)] = (-0.5) / (-1.25) = 0.4 (positive)

• Interval 3: x > 5 Test point: x = 6 (choose any value greater than 5) (6 - 5) / [(6 - 6)(6 - 4)] = 1 / (2) = 0.5 (positive)

The expression is positive in the intervals (4, 5) and (5, ∞). So, the domain of the function is:

Domain: x ∈ (4, 5) U (5, ∞)

2. The denominator cannot be zero: We already found that the denominator factors as (x - 6)(x - 4). To ensure the function is well-defined, we need to exclude any x-values that make the denominator zero:

x - 6 = 0 => x = 6 x - 4 = 0 => x = 4

So, the function is not defined at x = 6 and x = 4. However, since both 6 and 4 are outside the domain we found in step 1, they are not part of the domain.

Therefore, the final domain of the function is:

Domain: x ∈ (4, 5) U (5, 6) U (6, ∞)

In interval notation, the domain is (4, 5) ∪ (5, 6) ∪ (6, ∞).