Question

через вершину тупого угла С треугольника АВС проведена вне его прямая. Проекции сторон АС и ВС на эту прямую соответственно равны 2 и 4. Найдите сумму проекций трех медиан треугольника на эту же прямую

Answer 1

Смотрите чертёж (красные линии - медианы).

Считаем, что проекция AC равна 4, а проекция BC равна 2.

Проекции BA' и CA' равны (и равны 1, так как проекция BC равна 2). То же самое можно сказать и про проекции CB' и AB', но они равны 2. Так как треугольник тупоугольный, а AB лежит против тупого угла, проекция AB равна 6, а проекции AC' и BC' равны 3. Значит, проекция BB' равна сумме проекций BC и CB' (4), проекция AA' равна сумме проекций AC и CA' (5), а проекция CC' равна разности проекций BC и BC' (1). Значит, сумма проекций медиан данного треугольника - 10.

Ответ: 10.

Answer 2

Чтобы найти сумму проекций трех медиан треугольника на прямую, проведенную через вершину тупого угла С и внешнюю точку на ней, мы можем воспользоваться теоремой медианы.

Теорема медианы утверждает, что медиана треугольника делит сторону на две части в пропорции 2:1 относительно вершины треугольника.

Давайте обозначим:

• С1 - точка пересечения медианы из вершины С с прямой, проведенной через вершину С.
• С2 - середина стороны AB.

Таким образом, длина медианы из вершины С (медианы CC1) равна 2 * С1С2.

Из теоремы медианы также следует, что медианы из вершин А и В (медианы AA1 и BB1) также будут равны 2 * А1С2 и 2 * В1С2 соответственно.

Теперь у нас есть информация о проекциях сторон AC и BC на прямую, проведенную через вершину С: они равны 2 и 4 соответственно. Также нам известно, что медианы делят стороны в пропорции 2:1.

Итак, если проекция стороны AC равна 2, то длина стороны AC равна 2 * 3 = 6 (так как это отношение 2:1).

Точно так же, если проекция стороны BC равна 4, то длина стороны BC равна 4 * 3 = 12.

Теперь, чтобы найти длину медианы из вершины С (медианы CC1), мы можем найти половину длины стороны AB:

AB = AC + BC = 6 + 12 = 18 AB1 = AB / 2 = 18 / 2 = 9.

Теперь длина медианы из вершины С (медианы CC1) равна 2 * С1С2 = 2 * B1С2 = 2 * 9 = 18.

Наконец, чтобы найти сумму проекций всех трех медиан на прямую, мы просто складываем длины медиан:

Сумма проекций медиан = 2 * С1С2 + 2 * А1С2 + 2 * В1С2 = 2 * 18 + 2 * 9 + 2 * 9 = 36 + 18 + 18 = 72.

Таким образом, сумма проекций трех медиан треугольника на прямую составляет 72.