Question

Решите уравнение x+3C(x)=2025,где С(x) - сумма цифр числа x

Answer 1

Ответ:

1971

Пошаговое объяснение:

Очевидно, x < 2025. Значит, x содержит не более 4 цифр.

Известно. что число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 9. Обозначим этот остаток d. Для каких-то целых n и m выполняются соотношения x = 9n + d, S(x) = 9m + d. Подставляем в уравнение:

$9n + d + 3(9m + d) = 2025\\9(n + 3m)+4d=9\cdot225\\4d=9(225-n-3m)$

Правая часть этого равенства делится на 9, тогда и левая должна делиться, а тогда d = 0, то есть x и S(x) делятся на 9.

Есть 4 варианта для S(x): 9, 18, 27 и 36 - большую сумму цифр для не более чем четырехзначного числа не получить. Подставляя их в уравнение, находим x = 2025 - 3S(x), получается 1998, 1971, 1944 и 1917 соответственно. Все значения, кроме 1971, не подходят: при них сумма цифр отличается от той, которую мы подставляли.

Answer 2

Для решения уравнения x + 3C(x) = 2025, где С(x) - сумма цифр числа x, нужно выразить x через С(x) и подставить значение С(x) = 2025 - 3C(x). Для этого выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найдем ограничение на значение С(x). Максимальное значение для С(x) будет при максимально возможном значении x. Максимальное n-значное число будет иметь вид 999...999 (n девяток). Сумма цифр такого числа будет равна 9n. Поэтому для нашего случая:

С(x) ≤ 9n

Шаг 2: Выразим x через С(x):

x + 3C(x) = 2025

x = 2025 - 3C(x)

Шаг 3: Подставим значение С(x) = 2025 - 3C(x) в неравенство:

С(x) ≤ 9n

2025 - 3C(x) ≤ 9n

Шаг 4: Теперь заменим n на максимальное возможное значение, которое удовлетворяет неравенству. Максимальное значение n будет равно длине числа 2025 - 3C(x):

n = ⌊log10(2025 - 3C(x))⌋ + 1

(Здесь ⌊x⌋ обозначает наибольшее целое число, которое не превосходит x.)

Шаг 5: Подставим найденное значение n в выражение для x:

x = 2025 - 3C(x)

Шаг 6: Найдем значение C(x) и соответствующее значение x:

1. Выберем значение C(x) от 1 до 9 (включительно).
2. Вычислим n = ⌊log10(2025 - 3C(x))⌋ + 1.
3. Вычислим x = 2025 - 3C(x).

Повторим эти шаги для каждого значения C(x) от 1 до 9 и найдем все возможные значения x, удовлетворяющие исходному уравнению.