Question

Математики Аркадий, Борис и Вадим играют в глухой телефон «передавая» числа по кругу в этом порядке. Услышав число, Аркадий прибавляет к нему своё любимое, прежде чем передать дальше; в той же ситуации Борис умножает на своё любимое, а Вадим — делит. Аркадий передал своё любимое число и услышал «1600» через 2 хода. Борис передал своё любимое число и услышал «80» через 2 хода. Вадим передал своё любимое число и услышал «−16000» через 2 хода. Найдите сумму любимых чисел математиков.

Answer 1

Ответ:

-780

Пошаговое объяснение:

Обозначим их любимые числа как А, Б и В.

1. Аркадий передал А; Борис передал АБ; Вадим передал АБ/В = 1600.
2. Борис передал Б; Вадим передал Б/В; Аркадий передал Б/В + А = 80
3. Вадим передал В; Аркадий передал А + В; Борис передал (А + В)Б = -16000.

Получилась система из трёх уравнений. Выражаем Б/В из второго уравнения (Б/В = 80 - А), подставляем в первое:

А * Б/В = 1600

А * (80 - А) = 1600

А^2 - 80A + 1600 = 0

(A - 40)^2 = 0

А = 40

Значит, Б/В = 80 - А = 40 или Б = 40В. Подставляем А и Б в третье уравнение:

(40 + В) * 40В = -16000

В^2 + 40В + 400 = 0

(В + 20)^2 = 0

В = -20

Наконец, Б = 40В = -800.

Сумма любимых чисел А + Б + В = 40 + (-800) + -20 = -780

Answer 2

Пусть любимые числа Аркадия, Бориса и Вадима обозначаются как $a$, $b$ и $c$ соответственно.

Из условия задачи известно, что после 2-х ходов числа превратились в следующие:

1. Аркадий: $a + b \times c = 1600$.
2. Борис: $b \times a \times c = 80$.
3. Вадим: $c \div a \div b = -16000$.

Давайте решим эту систему уравнений и найдем значения $a$, $b$ и $c$.

Первое уравнение: $a + b \times c = 1600$.

Второе уравнение: $b \times a \times c = 80$.

Делим второе уравнение на первое:

$\frac{b \times a \times c}{a + b \times c} = \frac{80}{1600} = \frac{1}{20}$.

Третье уравнение: $c \div a \div b = -16000$.

Делим третье уравнение на первое:

$\frac{c \div a \div b}{a + b \times c} = \frac{-16000}{1600} = -10$.

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными:

1. $\frac{b \times a \times c}{a + b \times c} = \frac{1}{20}$.
2. $\frac{c \div a \div b}{a + b \times c} = -10$.

Объединим эти уравнения:

$\frac{b \times a \times c}{a + b \times c} = \frac{c \div a \div b}{a + b \times c}$.

Упростим выражение:

$b \times a \times c \times (a + b \times c) = c \div a \div b \times (a + b \times c)$.

Теперь заметим, что $a + b \times c$ отлично от нуля, иначе числа не передадутся дальше. Поэтому можно сократить на $a + b \times c$:

$b \times a \times c = c \div a \div b$.

Переставим слагаемые:

$b \times a \times c \times a \div b = c$.

Теперь сократим $b$ и $c$:

$a \times a = c$.

Таким образом, $c = a^2$.

Теперь, чтобы найти $b$, подставим значение $c$ в первое уравнение:

$a + b \times a^2 = 1600$.

Выразим $b$:

$b = \frac{1600 - a}{a^2}$.

Теперь у нас есть значения $b$ и $c$ через $a$.

Наконец, подставим значения $b$ и $c$ в уравнение для Вадима:

$c \div a \div b = -16000$.

$\frac{a^2}{a \times (1600 - a)} = -16000$.

Упростим:

$\frac{a}{1600 - a} = -16000$.

Разделим числитель и знаменатель на $a$:

$\frac{1}{1600/a - 1} = -16000$.

Теперь перевернем дробь:

$1600/a - 1 = -1/16000$.

Прибавим $1$ к обеим сторонам:

$1600/a = 1 - 1/16000$.

Выразим $a$:

$a = \frac{1600}{1 - 1/16000}$.

Рассчитаем значение $a$:

$a = \frac{1600}{1 - 1/16000} = \frac{1600}{15999/16000} = \frac{1600 \times 16000}{15999} \approx 1601$