Question

Вычислить несобственный интеграл и доказать его расходимость dx/sqrt(1-x^2) (0;1)

Answer 1

Табличный интеграл:

$\int\limits^1_0 {\frac{1}{\sqrt{1-x^2} } } \, dx =\arcsin x|_0^1=\pi/2$

Answer 2

Для вычисления несобственного интеграла ∫(0 to 1) dx/√(1-x^2) нужно учесть, что данный интеграл является несобственным из-за сингулярности функции под знаком интеграла при x = 1.

Первым шагом для решения этой задачи является подбор подходящей замены переменной. Попробуем сделать замену x = sin(u), тогда dx = cos(u)du и пределы интегрирования изменятся следующим образом: при x = 0, u = 0, а при x = 1, u = π/2.

Теперь интеграл примет вид: ∫(0 to π/2) (cos(u)du) / √(1 - sin^2(u))

Обратим внимание, что 1 - sin^2(u) = cos^2(u), поэтому интеграл упростится до: ∫(0 to π/2) (cos(u)du) / cos(u) = ∫(0 to π/2) du

Интегрирование константы дает нам простой результат: ∫(0 to π/2) du = [u]_(0 to π/2) = π/2

Таким образом, несобственный интеграл ∫(0 to 1) dx/√(1-x^2) равен π/2 и сходится.