Question

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость. Интеграл от 1 до 2 dx/(x-1)^2

Answer 1

$\int\limits^2_1 { \frac{1}{(x-1)^2} } \, dx \\ t = x-1; dt = dx;$
При переходу к новой переменной интеграл от 1 до 2 по х, равносилен интегралу от 0 до 1 по t.
$\lim_{a \to 0} \int\limits^1_a { \frac{1}{t^2} } \, dt = -\lim_{a \to 0} \frac{1}{x} |_{a}^{1} = -1 + \lim_{a \to 0} \frac{1}{a} = \infty$

Answer 2

Для вычисления несобственного интеграла или доказательства его расходимости, нужно проанализировать интеграл от $1$ до $2$ функции $\frac{dx}{(x-1)^2}$.

Для начала, заметим, что данная функция имеет вертикальную асимптоту при $x=1$. Поэтому мы не можем вычислить интеграл непосредственно в точке $x=1$. Однако, мы можем рассмотреть несобственный интеграл в виде предела:

$$\int_{1}^{2} \frac{dx}{(x-1)^2} = \lim_{{a \to 1^+}} \int_{a}^{2} \frac{dx}{(x-1)^2}$$

Для вычисления этого предела, произведем замену переменной $u = x-1$, тогда $du = dx$, а пределы интегрирования изменятся следующим образом: при $x = a \to 1^+$, $u = a-1 \to 0^+$, а при $x = 2$, $u = 2-1 = 1$:

$$\int_{a}^{2} \frac{dx}{(x-1)^2} = \int_{a-1}^{1} \frac{du}{u^2}$$

Вычислим данный интеграл:

$$\int_{a-1}^{1} \frac{du}{u^2} = \left[-\frac{1}{u}\right]_{a-1}^{1} = -\frac{1}{1} + \frac{1}{a-1} = \frac{1}{a-1} - 1$$

Теперь возьмем предел этого выражения при $a \to 1^+$:

$$\lim_{{a \to 1^+}} \left(\frac{1}{a-1} - 1\right)$$

При $a \to 1^+$, выражение $\frac{1}{a-1}$ стремится к $+\infty$, а выражение $\frac{1}{a-1} - 1$ стремится к $+\infty - 1 = +\infty$.

Итак, несобственный интеграл $\int_{1}^{2} \frac{dx}{(x-1)^2}$ расходится к $+\infty$.