Question

В треугольника АВС АВ=ВС, угол САВ =30, АЕ-биссектриса,ВЕ=8 см. Найдите площадь треугольника АВС

Answer 1

∠ВСА = ∠ВАС = 30°, так как треугольник равнобедренный,  

тогда ∠АВС = 180° - 2·30° = 120°  

Проведем ВК - высоту и медиану.  

Обозначим ЕС = х, АК = КВ = у. Тогда АВ = х + 8.  

По свойству биссектрисы:  

ВЕ : ЕС = АВ :АС  

8 : x = (x + 8) : (2y)  

16y = x(x + 8)  

y = x(x + 8)/16  

Из прямоугольного треугольника ВКС по определению косинуса:  

y = BC·cos∠BCK  

y = (x + 8)·√3/2  

Из двух уравнений получаем:  

x(x + 8)/16 = (x + 8)·√3/2  

x/16 = √3/2  

x = 8√3  

AB = BC = 8 + 8√3 (см)  

Sabc = 1/2 · AB · BC · sin120°  

Sabc = 1/2 · (8 + 8√3)²·√3/2 = 16√3(√3 + 1)² = 16√3(4 + 2√3) = 32√3(2 + √3) (см²)

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойства биссектрисы и законы синусов.

Пусть точка Е на стороне АВ треугольника АВС делит её на две равные части (то есть АЕ = ЕВ). Также нам дано, что длина ВЕ равна 8 см.

Мы знаем, что биссектриса делит противолежащую сторону пропорционально длинам смежных сторон. Так как АВ=ВС, то АЕ=ЕВ и, следовательно, АЕ=ВЕ=8 см.

Теперь, давайте обратим внимание на треугольник АЕС. Мы знаем, что угол САВ равен 30°, а биссектриса АЕ делит угол САЕ на две равные части. Таким образом, угол САЕ также равен 30°.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник ВЕС. У нас есть две стороны и угол между ними, поэтому можем использовать закон синусов для вычисления площади этого треугольника:

Площадь треугольника ВЕС (S_ВЕС) равна: S_ВЕС = (1/2) * ВЕ * ЕС * sin(угол ВЕС)

Угол ВЕС между сторонами ВЕ и ЕС равен 180° - угол САЕ: угол ВЕС = 180° - 30° = 150°

Подставим значения: S_ВЕС = (1/2) * 8 см * ЕС * sin(150°)

Теперь нам нужно найти длину стороны ЕС. Мы знаем, что АЕ = ВЕ = ЕС = 8 см, так как это равнобедренный треугольник.

Теперь вычислим sin(150°):

sin(150°) = sin(180° - 30°) = sin(30°) = 0.5

Теперь можем вычислить площадь треугольника ВЕС:

S_ВЕС = (1/2) * 8 см * 8 см * 0.5 = 16 см²

Так как треугольник ВЕС равнобедренный, его площадь равна половине площади треугольника АВС. Следовательно, площадь треугольника АВС равна:

S_АВС = 2 * S_ВЕС = 2 * 16 см² = 32 см²

Таким образом, площадь треугольника АВС равна 32 квадратных сантиметра.