Question

Даны вершины треугольника A (1,6), B (3,8), C (2,0) Требуется: 1) построить треугольник ABC ; 2) записать уравнения высоты BD и медианы CE ; 3) записать уравнение прямой, проходящей через точку А, параллельно стороне BC . Использовать методы векторной алгебры.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1. Рисунок к задаче в приложении.

2. Уравнение высоты BD -  перпендикуляра к АС.

ДАНО:   A(1;6), С(2;0) . НАЙТИ: Уравнение АС - Y = k*x + b

1) k = ΔY/ΔX = (Ay-Сy)/(Ax-Сx)=(6-0)/(1-2)=-6 - наклон прямой

2) b=Ay-k*Ax=6-(-6)*1=12- сдвиг по оси ОУ , Уравнение  Y(AС) = -6*x+12

Уравнение высоты - BD из точки В, наклон k2 = - 1/k = 1/6

Точка В(3,8), наклон  - k = -

b = Ву - k*Вx = 8 - (1/6)*3 = 7,5

Уравнение высоты - Y(ВD) = 1/6*x + 7,5

Точка С - середина стороны АВ.

Е = (А+В)/2.  Ех = (3+1)2 = 2,  Еу = (8+6)/2 = 7.  Точка Е(2;0)

Уравнение медианы СЕ -  х = 2.

3. Параллельно ВС через точку А.

ДАНО:   В(3;8), С(2;0) ,НАЙТИ: Y(ВС) = k*x + b

1) k = ΔY/ΔX = (Вy-Сy)/(Вx-Сx)=(8-0)/(3-2)= 8 - наклон прямой

2) b=Вy-k*Вx=8-(8)*3= -16 - сдвиг по оси ОУ

Уравнение  Y(ВС) = 8*x+-16

Параллельно - сохраняется коэффициент - k = 8.

Точка A(1,6), наклон  - k = 8

b = Aу - k*Ax = 6 - (8)*1 = -2

Уравнение прямой - Y(AF) = 8*x + -2

Answer 2

Чтобы выполнить указанные задачи с помощью векторной алгебры, мы сначала рассмотрим основные понятия:

1. Вектор между двумя точками: Если у нас есть две точки A(x1, y1) и B(x2, y2), то вектор AB представляется как (x2 - x1, y2 - y1).

2. Скалярное произведение векторов: Если у нас есть два вектора A(a1, a2) и B(b1, b2), то их скалярное произведение определяется как a1 * b1 + a2 * b2.

3. Уравнение прямой: Уравнение прямой может быть представлено в виде y = kx + b, где k - угловой коэффициент, а b - свободный член.

Теперь решим поставленные задачи:

1. Построение треугольника ABC:

Для построения треугольника ABC, нам нужно провести отрезки между вершинами. Сначала построим отрезки AB, BC и AC.

AB: (3 - 1, 8 - 6) = (2, 2) BC: (2 - 3, 0 - 8) = (-1, -8) AC: (2 - 1, 0 - 6) = (1, -6)

Теперь проведем эти отрезки на координатной плоскости:

Треугольник ABC с вершинами A(1, 6), B(3, 8) и C(2, 0).

2. Уравнение высоты BD и медианы CE:

а) Высота BD:

Высота BD проведена из вершины B перпендикулярно стороне AC. Для нахождения её уравнения, нужно найти уравнение прямой, проходящей через B и перпендикулярной AC. Первым шагом найдем вектор AC:

AC: (1, -6)

Вектор, перпендикулярный AC, можно получить, поменяв местами координаты и знак одного из них, например, (-6, -1).

Теперь нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через B(3, 8) и имеющей вектор направления (-6, -1). Используем формулу уравнения прямой в параметрической форме:

x = 3 - 6t y = 8 - t

где t - параметр.

б) Медиана CE:

Медиана CE проведена из вершины C в середину стороны AB. Чтобы найти её уравнение, найдем середину отрезка AB:

Середина AB: ((1 + 3)/2, (6 + 8)/2) = (2, 7)

Теперь, чтобы найти уравнение медианы CE, нужно найти уравнение прямой, проходящей через C(2, 0) и середину AB (2, 7). Используем формулу уравнения прямой:

y - 0 = (0 - 7)/(2 - 2) * (x - 2)

Так как знаменатель равен нулю, значит, медиана CE вертикальна и имеет уравнение x = 2.

3. Уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной стороне BC:

Уравнение параллельной прямой имеет тот же угловой коэффициент, что и сторона BC. Найдем угловой коэффициент стороны BC:

BC: (-1, -8)

Угловой коэффициент k = (-8 - 6) / (-1 - 1) = -14 / -2 = 7

Теперь используем уравнение прямой y = kx + b и подставим координаты точки A(1, 6):

6 = 7 * 1 + b b = 6 - 7 b = -1

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку A(1, 6) и параллельной стороне BC, будет y = 7x - 1.