Question

Составить каноническое уравнение кривой, Кажда точка которой равноудалена от точки F(0;4) и прямой y=2

Answer 1

Составим уравнение произвольной точки М(х; у) на кривой.

$\sqrt{x^2+(y-4)^2} =y-2.$

Возведём обе части уравнения в квадрат.

х² + у² - 9у + 18 = у² - 4у + 4.

Приводим подобные: х²  - 4у + 12 = 0.

Получили уравнение параболы:

(x - x0)² = 2p(y - y0).

x² = 2*2(y - 3).

Ветви параболы направлены вверх (p>0), вершина расположена в точке (x0, y0), т.е. в точке (0;3).

Параметр p = 2.

Answer 2

Чтобы составить каноническое уравнение кривой, каждая точка которой равноудалена от точки F(0, 4) и прямой y = 2, мы можем использовать определение параболы.

Каноническое уравнение параболы имеет следующий вид:

$(x - h)^2 = 4p(y - k)$

где (h, k) - это вершина параболы, а p - фокусное расстояние, то есть расстояние от фокуса до вершины.

Для начала найдем фокусное расстояние p. Поскольку каждая точка на кривой равноудалена от точки F(0, 4) и прямой y = 2, расстояние от такой точки до прямой y = 2 будет равно расстоянию от этой точки до точки F(0, 4).

Фокусное расстояние p равно половине этого расстояния:

$p = \frac{4 - 2}{2} = 1$

Теперь, когда у нас есть фокусное расстояние, мы можем найти вершину параболы. Вершина находится на оси y и имеет координаты (h, k). В данном случае, поскольку парабола симметрична относительно оси x, её вершина находится на высоте y = 3 (среднее между y = 4 и y = 2).

Таким образом, вершина имеет координаты (0, 3).

Теперь, подставим найденные значения в каноническое уравнение:

$(x - 0)^2 = 4 \cdot 1 \cdot (y - 3)$

$x^2 = 4y - 12$

Полученное уравнение $x^2 = 4y - 12$ представляет каноническую форму параболы, каждая точка которой равноудалена от точки F(0, 4) и прямой y = 2.