Question

Найти экстремиум производной y=3x^5-20x^3+7

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y=-3x⁵-20x³+12 [-4;0]

y`=-15x⁴-60x²=0

-15x⁴-60x²=0

-15x²*(x²-4)=0

x²*(x²-4)=0

x₁=0 x₂=-4 x₃=4 ∉

y(-4)=-3*(-4)⁵-20*(-4)³+12=3072+1280+12=4384

y(0)=-3*0⁵-20*0³+12=12=ymin

Ответ: ymin=12.

Answer 2

Для найти экстремумы производной функции y=3x^5-20x^3+7, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции y по переменной x.
2. Решите уравнение производной равное нулю, чтобы найти критические точки (точки, где производная равна нулю или не существует).
3. Определите тип каждой критической точки (минимум, максимум или точка перегиба), используя вторую производную или тест знаков производной.

Шаг 1: Найдем производную функции y по переменной x: y' = d/dx (3x^5 - 20x^3 + 7) y' = 15x^4 - 60x^2

Шаг 2: Решим уравнение y' = 0, чтобы найти критические точки: 15x^4 - 60x^2 = 0

Вынесем общий множитель: 15x^2(x^2 - 4) = 0

Теперь решим каждый множитель:

1. 15x^2 = 0 x^2 = 0 x = 0

2. x^2 - 4 = 0 x^2 = 4 x = ±2

Таким образом, у нас есть три критические точки: x = 0, x = 2 и x = -2.

Шаг 3: Определим тип каждой критической точки, используя вторую производную или тест знаков производной.

Возьмем вторую производную функции y: y'' = d/dx (15x^4 - 60x^2) y'' = 60x^3 - 120x

Теперь подставим значения x из критических точек в y'' для определения типа каждой точки.

1. x = 0: y''(0) = 60(0)^3 - 120(0) = 0 Так как y''(0) равно нулю, мы не можем сделать окончательный вывод, и должны использовать тест знаков производной.

2. x = 2: y''(2) = 60(2)^3 - 120(2) = 240 Поскольку y''(2) положительное число, это указывает на локальный минимум в точке x = 2.

3. x = -2: y''(-2) = 60(-2)^3 - 120(-2) = -240 Поскольку y''(-2) отрицательное число, это указывает на локальный максимум в точке x = -2.

Итак, экстремумы производной функции y=3x^5-20x^3+7 находятся в точках:

1. Локальный минимум в x = 2
2. Локальный максимум в x = -2