Question

сторона треугольника равна 10 корней из 3 см, а прилежащие к ней углы равны 10 и 50 градусов. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.

Answer 1

Ответ:

Длины дуг, на которые делят описанную окружность около треугольника его вершины, равны 50π/9 см, 10π/9 см, 40π/3 см.

Пошаговое объяснение:

Сторона треугольника равна 10√3 см, а прилежащие к ней углы равны 10° и 50° градусов. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность около треугольника его вершины.

Дано: ΔАВС;

ВС = 10√3 см;

∠В = 10°; ∠С = 50°.

Найти: длины ◡АС; ◡АВ; ◡СВ

Решение:

Формула длины дуги окружности:

$\boxed {\displaystyle \bf L=\frac{\pi R}{180}\cdot \alpha }$

Найдем градусные меры искомых дуг:

• Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

⇒ ◡АВ = 2 · ∠АСВ = 50° · 2 = 100° (вписанный)

◡АС = 2 · ∠АВС = 10° · 2 = 20° (вписанный)

◡ВС = 360° - (100° + 20°) = 240°

Теперь найдем радиус окружности.

Проведем ОН ⊥ ВС.

• Радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

⇒ ВН = НС = 5√3 см

◡ВАС = ◡АС + ◡АВ = 100° + 20° = 120°

• Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

⇒ ∠ВОС = 120° (центральный)

Рассмотрим ΔВОС - равнобедренный (ВО = ОС = R)

ОН - высота.

• В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

⇒ ∠ВОН = ∠НОС = ∠ВОС : 2 = 120° : 2 = 60°

Рассмотрим ΔНВО - прямоугольный.

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠НВО = 90° - 60° = 30°

• Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Пусть НО = х см, тогда ВО = 2х см.

По теореме Пифагора:

ВО² = НО² + ВН²

4х² = х² + 75

х² = 25

х = 5

⇒ ОН = 5 см; ОВ = 10 см = R.

Найдем длины дуг.

1. α = ∠ВОА = ◡АВ = 100°

$\displaystyle L=\frac{\pi \cdot 10}{180}\cdot 100 =\frac{50\pi }{9}$   (см)

2. α = ∠АОС = ◡АС = 20°

$\displaystyle L=\frac{\pi \cdot 10}{180}\cdot 20 =\frac{10\pi }{9}$   (см)

3. α = ∠ВОС = ◡ВС = 240°

$\displaystyle L=\frac{\pi \cdot 10}{180}\cdot 240 =\frac{40\pi }{3}$   (см)

Длины дуг, на которые делят описанную окружность около треугольника его вершины, равны 50π/9 см, 10π/9 см, 40π/3 см.

#SPJ1

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобятся некоторые геометрические свойства треугольника и его описанной окружности.

1. Треугольник: Пусть у нас есть треугольник ABC, где сторона AC равна 10 корням из 3 см, а углы BAC и BCA равны 10° и 50° соответственно.

2. Описанная окружность: Описанная окружность треугольника ABC - это окружность, проходящая через все три вершины треугольника.

3. Длины дуг: Найдем длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.

Для начала найдем угол BAC, используя сумму углов треугольника:

Угол BAC = 180° - (Угол BCA + Угол ABC) Угол BAC = 180° - (50° + 10°) Угол BAC = 120°

Теперь, зная сторону и угол, можем найти длину дуги AC:

Длина дуги AC = (Угол BAC / 360°) * Периметр окружности

Периметр окружности = 2 * π * Радиус

Нам известна длина стороны AC, которая является хордой описанной окружности, и угол BAC, который соответствует центральному углу дуги AC. Мы можем использовать формулу для нахождения длины дуги, зная хорду и центральный угол:

Длина дуги AC = Радиус * Угол BAC (в радианах)

Для нахождения радиуса описанной окружности, воспользуемся формулой для радиуса окружности, описанной вокруг треугольника:

Радиус = (сторона AC) / (2 * sin(Угол BCA))

Радиус = (10√3) / (2 * sin(50°))

Теперь можем найти длину дуги AC:

Длина дуги AC = Радиус * Угол BAC (в радианах)

Итак, для вычисления длины дуги AC, нам нужно найти радиус и перевести угол BAC в радианы. После этого можно будет найти длину дуги.