Question

Помогите пожалуйста Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке y=2x^2 - In x + 1/2 [1/4;1]

Answer 1

Решение тут!!!!!!!!!!!))))))))

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на данном отрезке, сначала найдем её производную и рассмотрим критические точки, а затем проверим значения функции на концах интервала.

1. Найдем производную функции y = 2x^2 - ln(x) + 1/2: y' = d/dx (2x^2 - ln(x) + 1/2) = 4x - 1/x.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: 4x - 1/x = 0.

Умножим уравнение на x, чтобы избавиться от дроби: 4x^2 - 1 = 0.

Решим это квадратное уравнение: 4x^2 = 1, x^2 = 1/4, x = ±√(1/4), x = ±1/2.

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 1/2 и x = -1/2.

3. Проверим значения функции на концах интервала [1/4, 1]:

• При x = 1/4: y = 2(1/4)^2 - ln(1/4) + 1/2 = 2(1/16) - ln(1/4) + 1/2 = 1/8 - (-ln4) + 1/2 ≈ 1/8 + 1.386 + 1/2 ≈ 1.886.

• При x = 1: y = 2(1)^2 - ln(1) + 1/2 = 2 - 0 + 1/2 = 2.5.

Таким образом, на концах интервала [1/4, 1] значения функции равны приблизительно: y ≈ 1.886 и y = 2.5.

4. Проверим значения функции в критических точках x = 1/2 и x = -1/2:

• При x = 1/2: y = 2(1/2)^2 - ln(1/2) + 1/2 = 2(1/4) - (-ln2) + 1/2 ≈ 1/2 + 0.693 + 1/2 ≈ 1.693.

• При x = -1/2: y = 2(-1/2)^2 - ln(-1/2) + 1/2 = 2(1/4) - undefined + 1/2.

Обратите внимание, что функция ln(x) не определена для отрицательных значений x, поэтому второе значение не может быть рассчитано.

5. Таким образом, нашли следующие значения функции на отрезке [1/4, 1]: y ≈ 1.886 (минимальное значение, достигается при x ≈ 1/4) y ≈ 1.693 (достигается при x = 1/2) y = 2.5 (максимальное значение, достигается при x = 1)

Итак, наименьшее значение функции на интервале [1/4, 1] примерно равно 1.886, а наибольшее значение равно 2.5.