Question

При каких значениях A и D прямая x=3+4t, y=1-4t, z=-3+t лежит в плоскости Ax +2y - 4z+D=0? Не кидайте из интернета непонятную картинку с решением, ее я уже видел. Напишите своё решение и с объяснениями подробными, озолочу и отблагодарю душевно.

Answer 1

запишу параметрическое уравнение прямой

x=3+4t; 4t=x-3; t=(x-3)/4

y=1-4t; 4t=1-y; t=(1-y)/4

z= -3+t; t=z+3

(x-3)/4=(y-1)/-4=(z+3)/1-параметрическое уравнение прямой

ее направляющий вектор a(4;-4;1)

если этот вектор лежит в плоскости с нормалью b(A;2;-4), то скалярное произведение а и b должно равняться нулю, они перпендикулярны

4A-4*2+1*(-4)=0

4A-8-4=0; 4A=12; A=3

Чтобы найти D, подставлю точку (3;1;-3), через которую проходит прямая, в уравнение плоскости

3*3+2*1-4*(-3)+D=0

9+2+12+D=0

D=-23

Answer 2

Давайте разберемся в этой задаче шаг за шагом.

У нас есть прямая в параметрической форме: x = 3 + 4t y = 1 - 4t z = -3 + t

И у нас есть плоскость в общем виде: Ax + 2y - 4z + D = 0

Чтобы определить, лежит ли прямая в плоскости, необходимо, чтобы все точки этой прямой удовлетворяли уравнению плоскости.

Заменим значения x, y и z в уравнении плоскости на соответствующие параметрические выражения из уравнения прямой:

A(3 + 4t) + 2(1 - 4t) - 4(-3 + t) + D = 0

Теперь рассмотрим каждый член отдельно:

A(3 + 4t) = 3A + 4At 2(1 - 4t) = 2 - 8t 4(-3 + t) = -12 + 4t

Теперь объединим все члены:

3A + 4At + 2 - 8t - 12 + 4t + D = 0

Упростим:

4At - 4t + 3A + D - 10 = 0

Теперь сгруппируем члены с t и числовые члены:

(4A - 4)t + (3A + D - 10) = 0

Так как это должно выполняться для любого значения t, то оба коэффициента должны равняться нулю:

1. 4A - 4 = 0
2. 3A + D - 10 = 0

Решим первое уравнение относительно A:

4A = 4 A = 4/4 A = 1

Теперь подставим значение A во второе уравнение:

3(1) + D - 10 = 0 3 + D - 10 = 0 D = 10 - 3 D = 7

Таким образом, значения A = 1 и D = 7 удовлетворяют условиям, при которых прямая лежит в плоскости Ax + 2y - 4z + D = 0.