Question

Найти предел функции lim x->0 cosx-1/x^2

Answer 1

$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2}=\left\{\frac{0}{0}\right\}$

получаем неопределенность, которую можно раскрыть исспользовав первый замечательный предел

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

Тогда, использовав формулу

$\cos x-1=-2\sin^2\frac{x}{2},$

получим

$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{-2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2}=-2\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\left(\frac{x}{2}\right)^2\cdot4}=-2\cdot\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$

Answer 2

Для нахождения предела функции $\lim_{{x \to 0}} \left( \cos x - \frac{1}{{x^2}} \right)$, мы можем использовать правило Лопиталя, если предел имеет форму $\frac{0}{0}$.

Сначала вычислим предел отдельных частей функции:

1. $\lim_{{x \to 0}} \cos x$

$\cos 0 = 1$

2. $\lim_{{x \to 0}} \frac{1}{{x^2}}$

Здесь предел равен бесконечности ($\infty$), так как при $x \to 0$, дробь $\frac{1}{{x^2}}$ становится очень большой.

Теперь применим правило Лопиталя к пределу функции:

$\lim_{{x \to 0}} \left( \cos x - \frac{1}{{x^2}} \right) = \lim_{{x \to 0}} \cos x - \lim_{{x \to 0}} \frac{1}{{x^2}}$

Так как первый предел уже был вычислен выше, остается только вычислить второй предел с помощью правила Лопиталя:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{1}{{x^2}} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{d/dx(1)}}{{d/dx(x^2)}} = \lim_{{x \to 0}} \frac{0}{{2x}} = 0$

Теперь, подставим полученные результаты обратно в исходное выражение:

$\lim_{{x \to 0}} \left( \cos x - \frac{1}{{x^2}} \right) = 1 - 0 = 1$

Итак, $\lim_{{x \to 0}} \left( \cos x - \frac{1}{{x^2}} \right) = 1$.