Question

5sin^2x+6cosx-6=0. Не понимаю что делать после нахождения дискриминанта. Распишите пожалуйста.

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Давайте вместе решим данное уравнение шаг за шагом. У вас есть квадратное уравнение вида:

$5\sin^2x + 6\cos x - 6 = 0.$

Для начала, преобразуем его к более удобному виду, используя тригонометрические тождества. Заметим, что $\sin^2x + \cos^2x = 1$, поэтому можем переписать $\sin^2x$ как $1 - \cos^2x$. Подставим это в уравнение:

$5(1 - \cos^2x) + 6\cos x - 6 = 0.$

Теперь получили квадратное уравнение относительно $\cos x$:

$5\cos^2x + 6\cos x - 1 = 0.$

Теперь воспользуемся дискриминантом, чтобы определить, есть ли решения для $\cos x$. Дискриминант квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равен $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a = 5$, $b = 6$ и $c = -1$, поэтому:

$D = (6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 36 + 20 = 56.$

Так как дискриминант $D$ положителен (больше нуля), уравнение имеет два различных действительных корня. Теперь найдем эти корни с помощью формулы для решения квадратного уравнения:

Если у нас есть квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, то его корни $x_1$ и $x_2$ вычисляются по формулам:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$

Таким образом, для нашего уравнения, $\cos x$ будет равен:

$\cos x = \frac{-6 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{14}}{10} = \frac{-3 \pm \sqrt{14}}{5}.$

Теперь разберем два случая:

1. Когда $\cos x = \frac{-3 + \sqrt{14}}{5}$:

Для этого значения $\cos x$, найдем соответствующее значение $\sin x$ используя уравнение $\sin^2x + \cos^2x = 1$:

$\sin^2x = 1 - \left(\frac{-3 + \sqrt{14}}{5}\right)^2.$ $\sin^2x = 1 - \frac{9 - 6\sqrt{14} + 14}{25} = 1 - \frac{23 - 6\sqrt{14}}{25} = \frac{2\sqrt{14} - 2}{25}.$

Таким образом, $\sin x$ будет равен:

$\sin x = \sqrt{\frac{2\sqrt{14} - 2}{25}}.$