Question

1) Найти производную сложной функции y=(6x+2)^2. 2) Найти точки максимума и минимума, промежутки возрастания и убывания функций: а) y=1-7x; б) y=8x-x^2+1 3) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=2x^2-8x+2 на отрезке [-2;3]

Answer 1

1) Производная сложной функции y=(6x + 2)²

y' = ((6x + 2)²)' = 2(6x + 2) * (6x + 2)' = 4(3x + 1) * 6 = 24(3x + 1)

2) Точки максимума и минимума, промежутки возрастания и убывания функций

а) y = 1 - 7x

y' = -7

Функция y' не зависит от x и всегда меньше нуля ⇒ y = 1 - 7x убывает на всей числовой прямой, точек максимума и минимума нет.

б) y = 8x - x² + 1

y' = 8 - 2x

8 - 2x = 0   ⇒   x = 4

С помощью метода интервалов определяем знак функции y' на промежутках (-оо; 4) и (4; +оо)

Получаем:

При x ∈ (-оо; 4) функция y' > 0  ⇒ y = 8x - x² + 1 возрастает на промежутке (-оо; 4)

При x ∈ (4; +оо) функция y' < 0  ⇒  y = 8x - x² + 1 убывает на промежутке (4; +оо)

При x = 4, функция y достигает своего наибольшего значения (по определению точки максимума), поэтому x = 4 -- точка максимума

3) Наибольшее и наименьшее значения функции y = 2x² - 8x + 2 на отрезке [-2;3]

y' = 4x - 8

4x - 8 = 0  ⇒  x = 2

Значение 2 принадлежит заданному промежутку, поэтому это значение вместе с концами отрезка подставляем в функцию:

y(-2) = 2*(-2)² - 8*(-2) + 2 = 8 + 16 + 2 = 26

y(2) = 2*2² - 8*2 + 2 = 8 - 16 + 2 = -6

y(3) = 2*3² - 8*3 + 2 = 18 - 24 + 2 = -4

Среди получившихся значений наибольшее значение функции равно 26, наименьшее   --   -6

Answer 2

1. Для нахождения производной сложной функции y = (6x + 2)^2, применяем правило цепочки (chain rule). По цепочке, производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

y = (6x + 2)^2

Сначала найдем производную внутренней функции (6x + 2): (dy/dx) = d/dx (6x + 2) = 6

Теперь найдем производную внешней функции, возведенной в квадрат. Пусть u = 6x + 2. (dy/du) = d/du (u^2) = 2u = 2(6x + 2) = 12x + 4

Теперь, используя правило цепочки, производная исходной функции y = (6x + 2)^2 равна: (dy/dx) = (dy/du) * (du/dx) = (12x + 4) * 6 = 72x + 24

Ответ: производная функции y = (6x + 2)^2 равна 72x + 24.

а) Найдем производную функции y = 1 - 7x: (dy/dx) = d/dx (1 - 7x) = -7

Так как производная константы равна нулю, производная функции y = 1 - 7x постоянна и равна -7. Это означает, что функция всегда убывает (нет точек максимума или минимума).

б) Найдем производную функции y = 8x - x^2 + 1: (dy/dx) = d/dx (8x - x^2 + 1) = 8 - 2x

Теперь найдем точки максимума и минимума, приравняв производную к нулю и решив уравнение: 8 - 2x = 0 2x = 8 x = 4

Для определения характера точки (максимум или минимум) проанализируем знак производной в окрестности точки:

• При x < 4: dy/dx > 0, значит, функция возрастает.
• При x > 4: dy/dx < 0, значит, функция убывает.

Таким образом, у функции есть точка минимума при x = 4, а промежутки возрастания функции: (-∞, 4), промежутки убывания функции: (4, +∞).

3. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y = 2x^2 - 8x + 2 на отрезке [-2; 3], следует проанализировать значения функции на краях интервала и в стационарных точках.

a) Находим значения функции на границах интервала:

• При x = -2: y = 2(-2)^2 - 8(-2) + 2 = 2(4) + 16 + 2 = 8 + 16 + 2 = 26
• При x = 3: y = 2(3)^2 - 8(3) + 2 = 2(9) - 24 + 2 = 18 - 24 + 2 = -4

b) Находим стационарную точку, приравнивая производную к нулю и решая уравнение: (dy/dx) = d/dx (2x^2 - 8x + 2) = 4x - 8

4x - 8 = 0 4x = 8 x = 2

Получили стационарную точку при x = 2. Теперь найдем значение функции в этой точке: y = 2(2)^2 - 8(2) + 2 = 2(4) - 16 + 2 = 8 - 16 + 2 = -6

Теперь сравним найденные значения функции:

• Значение на границе интервала: y = 26
• Значение в стационарной точке: y = -6
• Значение на другой границе интервала: y = -4

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-2; 3] равно 26, а наименьшее значение равно -6.