Question

Найти экстремумы функций: z=2x^2-y^2+6xy+2x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции z = 2x^2 - y^2 + 6xy + 2x, нужно найти частные производные по переменным x и y и приравнять их к нулю. Затем решим полученную систему уравнений.

Шаг 1: Найдем частные производные по переменным x и y:

Частная производная по x (записывается как ∂z/∂x): ∂z/∂x = d/dx (2x^2 - y^2 + 6xy + 2x) ∂z/∂x = 4x + 6y + 2

Частная производная по y (записывается как ∂z/∂y): ∂z/∂y = d/dy (2x^2 - y^2 + 6xy + 2x) ∂z/∂y = -2y + 6x

Шаг 2: Приравняем частные производные к нулю и решим систему уравнений:

Система уравнений:

1. 4x + 6y + 2 = 0
2. -2y + 6x = 0

Шаг 3: Решим систему уравнений:

Из уравнения 1: 4x + 6y + 2 = 0 4x + 6y = -2 2x + 3y = -1 y = (-1 - 2x) / 3

Теперь, подставим значение y в уравнение 2: -2y + 6x = 0 -2((-1 - 2x) / 3) + 6x = 0 (2/3)(1 + 2x) + 6x = 0 (2/3) + (4x/3) + 6x = 0 (4x + 2 + 18x) / 3 = 0 22x + 2 = 0 22x = -2 x = -2/22 x = -1/11

Теперь найдем значение y, подставив значение x в уравнение, которое мы нашли в шаге 3: y = (-1 - 2x) / 3 y = (-1 - 2(-1/11)) / 3 y = (-1 + 2/11) / 3 y = (9/11) / 3 y = 3/11

Шаг 4: Проверим, являются ли найденные значения x и y экстремумами (минимумами или максимумами) функции z.

Для этого, вычислим вторые частные производные по x и y:

Частная производная по x второго порядка (записывается как ∂^2z/∂x^2): ∂^2z/∂x^2 = d^2/dx^2 (4x + 6y + 2) ∂^2z/∂x^2 = 4

Частная производная по y второго порядка (записывается как ∂^2z/∂y^2): ∂^2z/∂y^2 = d^2/dy^2 (-2y + 6x) ∂^2z/∂y^2 = -2

Шаг 5: Вычислим смешанные производные:

Частная производная по x и y (записывается как ∂^2z/∂x∂y): ∂^2z/∂x∂y = d^2/dxdy (4x + 6y + 2) ∂^2z/∂x∂y = 6

Частная производная по y и x (записывается как ∂^2z/∂y∂x): ∂^2z/∂y∂x = d^2/dydx (-2y + 6x) ∂^2z/∂y∂x = 6

Шаг 6: Вычислим определитель матрицы Гессе:

| ∂^2z/∂x^2 ∂^2z/∂x∂y | | ∂^2z/∂y∂x ∂^2z/∂y^2 |

Матрица Гессе: | 4 6 | | 6 -2 |

Определитель матрицы Гессе = (4 * -2) - (6 * 6) = -8 - 36 = -44

Шаг 7: Определение типа экстремума:

Так как определитель матрицы Гессе (-44) отрицателен, а вторая частная производная по x (∂^2z/∂x^2) положительна (4 > 0), это указывает на то, что у нас есть точка минимума.

Шаг 8: Найденные значения x и y и тип экстремума:

Минимум функции z находится в точке (x, y) = (-1/11, 3/11) и его значение равно z = 2x^2 - y^2 + 6xy + 2x.

Уточнение: Проверьте сами вычисления, чтобы быть уверенными в правильности ответа, так как ошибки могут возникнуть в процессе вычислений.