Question

Показать что векторы а1, а2, а3 образуют базис в R^3 и разложить вектор а4 по этому базису а1(2;1;4), а2(-3;5;1), а3=(1;-4;-3); а4=(2;-5;-4)

Answer 1

$\vec{a}_1=(2,1,4)\; ,\; \vec{a}_2=(-3,5,1)\; ,\; \vec{a}_3=(1,-4,-3)\; ,\; \vec{a}_4=(2,-5,-4)\\\\\\(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3)=\left|\begin{array}{ccc}2&1&4\\-3&5&1\\1&-4&-3\end{array}\right|=2\cdot (-15+4)-(9-1)+4\cdot (12-5)=-2\ne 0$

Так как определитель не равен нулю, то векторы не компланарны (не лежат в одной плоскости), значит они образуют базис.

Если вектор $\vec{a}_4$  разложить по базису  $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3$  , то можно записать:

$\vec{a}_4=\alpha \cdot \vec{a}_1+\beta \cdot \vec{a}_2+\gamma \cdot \vec{a}_3$

Такой же линейной зависимостью будут связаны и координаты этих векторов. Это можно записать с помощью системы:

$\left\{\begin{array}{c}2\alpha -3\beta +\gamma =2\\\alpha +5\beta +4\gamma =-5\\4\alpha+\beta -3\gamma =-4\end{array}\right \; \; \left(\begin{array}{cccc}1&5&4&|-5\\2&-3&1&|\; \; \; 2\\4&1&-3&|-4\end{array}\right)\sim \\\\\\1str\cdot (-2)+2str\; \; ,\; \; 2str\cdot (-2)+3str\; \; ,\\\\\sim \left(\begin{array}{cccc}1&5&4&|-5\\0&-13&-7&|\; \; 12\\0&7&-5&|-8\end{array}\right)\sim\; \; 2str\cdot 7+3str\cdot 13\; \sim \left(\begin{array}{cccc}1&5&4&|-5\\0&-13&-7&|\; 12\\0&0&-114&|-20\end{array}\right)$

$\left\{\begin{array}{c}\alpha +5\beta +4\gamma =-5\\-13\beta -7\gamma =12\\-114\gamma=-20\end{array}\right \; \; \left\{\begin{array}{c}\alpha =-5-5\beta -4\gamma \\-13\beta =12+7\cdot \frac{10}{57}\\\gamma =\frac{10}{57}\end{array}\right \\\\\\\left\{\begin{array}{c}\alpha =-5+\frac{5\cdot 58}{57}-\frac{4\cdot 10}{57}\\\beta =-\frac{58}{57}\\\gamma =\frac{10}{57}\end{array}\right\; \; \; \left\{\begin{array}{ccc}\alpha =-\frac{35}{57}\\\beta =-\frac{58}{57}\\\gamma =\frac{10}{57}\end{array}\right$

$\vec{a}_4=-\frac{35}{57}\, \vec{a}_1-\frac{58}{57}\, \vec{a}_2+\frac{10}{57}\, \vec{a}_3$

Answer 2

Для того чтобы показать, что векторы а1, а2, а3 образуют базис в R^3, нам нужно убедиться, что эти векторы линейно независимы (не могут быть выражены через друг друга) и охватывают всё пространство R^3 (любой вектор R^3 можно выразить через комбинацию этих векторов).

1. Проверка на линейную независимость: Для того чтобы векторы были линейно независимыми, необходимо, чтобы уравнение a1x + a2y + a3*z = 0 имело только тривиальное решение x=y=z=0.

У нас есть векторы: а1 = (2; 1; 4) а2 = (-3; 5; 1) а3 = (1; -4; -3)

Поставим уравнение a1x + a2y + a3*z = 0 и решим его: 2x - 3y + z = 0 (уравнение для координат x) x + 5y - 4z = 0 (уравнение для координат y) 4x + y - 3z = 0 (уравнение для координат z)

Решим эту систему уравнений:

Методом Гаусса приведем матрицу к ступенчатому виду:

| 2 -3 1 | 0 | | 1 5 -4 | 0 | | 4 1 -3 | 0 |

Выполним следующие преобразования: R2 = R2 - 0.5 * R1 R3 = R3 - 2 * R1

Получим:

| 2 -3 1 | 0 | | 0 6 -5 | 0 | | 0 7 -5 | 0 |

Теперь R3 = R3 - (7/6) * R2:

| 2 -3 1 | 0 | | 0 6 -5 | 0 | | 0 0 0 | 0 |

У нас получилась ступенчатая матрица, и единственное решение этой системы - x=y=z=0. Это значит, что векторы а1, а2, а3 действительно линейно независимы.

2. Проверка на охватывание всего пространства R^3: Так как векторы а1, а2, а3 образуют базис, каждый вектор R^3 можно выразить через комбинацию этих векторов.

Теперь разложим вектор а4 по этому базису:

а4 = (2; -5; -4)

Для этого найдем такие коэффициенты x, y, z, что а4 = x * а1 + y * а2 + z * а3:

2 * а1 + (-5) * а2 + (-4) * а3 = (2; 1; 4) + 5 * (-3; 5; 1) + 4 * (1; -4; -3) = (2; 1; 4) + (-15; -25; -5) + (4; -16; -12) = (2 - 15 + 4; 1 - 25 - 16; 4 - 5 - 12) = (-9; -40; -13)

Таким образом, разложение вектора а4 по базису (а1, а2, а3) будет:

а4 = -9 * а1 - 40 * а2 - 13 * а3