Question

Пусть x1 и x2 являются корнями уравнения 3x^2-6x-1=0.Составьте квадратное уравнение с корнями x1^3 и x2^3.

Answer 1

Ответ: 27х²-270х-1=0

Пошаговое объяснение:

3х²-6х-1=0

Находим корни:

х1,2=[6+-√(36+12)]/6=1+-(2√3)/3

Возведём их в куб:

х1³=1+(2√3)/3=1+2√3+4+(8√3)/9=5+(26√3)/9

х2³=1-(2√3)/3=1-2√3+4-(8√3)/9=5-(26√3)/9

Тогда новое уравнение:

[(х-5)-(26√3)/9][(х-5)+(26√3)/9]=0

Используем формулу разности квадратов двух чисел:

(х-5)²-[(26√3/9]²=0 =>

х²-10х+25-676×3:81=0 =>

х²-10х+25-676/27=0

Умножим все члены на 27:

27х²-270х+675-676=0

Окончательно имеем:

27х²-270х-1=0

Answer 2

Если x1 и x2 являются корнями уравнения 3x^2 - 6x - 1 = 0, то мы знаем, что:

1. x1 + x2 = 6/3 = 2 (по свойствам квадратного уравнения, сумма корней равна коэффициенту при x в выражении -b/a)
2. x1 * x2 = -1/3 (по свойствам квадратного уравнения, произведение корней равно свободному члену в выражении c/a)

Теперь, чтобы составить уравнение с корнями x1^3 и x2^3, мы можем воспользоваться следующим свойством:

Если x1 и x2 являются корнями уравнения ax^2 + bx + c = 0, то уравнение с корнями x1^3 и x2^3 будет иметь вид: a(y - x1^3)(y - x2^3) = 0.

Давайте подставим значения x1^3 и x2^3:

1. x1^3 = (x1)^3 = (2)^3 = 8
2. x2^3 = (x2)^3 = (2)^3 = 8

Теперь составим уравнение:

3(y - 8)(y - 8) = 0

Итак, квадратное уравнение с корнями x1^3 и x2^3 будет: 3y^2 - 48y + 192 = 0.