Question

Дана матрица A= 6 6 6 −6 −4 −1 6 4 1. Выясните, какое из чисел λ=0 или λ=−8 является собственным числом матрицы А. Найдите собственный вектор, отвечающий этому собственному числу. Собственный вектор запишите в виде −3;p;q В ответ введите числа p и q, разделив их точкой с запятой.

Answer 1

Ответ:

Собственные числа находят из характеристического уравнения:

|A-λE|=0

$\begin{vmatrix} \begin{pmatrix}6&6&6\\-6&-4 &-1\\ 6&4&1\end{pmatrix} -\lambda \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1 &0 \\0&0 &1 \end{pmatrix}\end{vmatrix}=0 \\ \\ \\ \begin{vmatrix}6-\lambda &6 &6 \\ -6&-4-\lambda & -1\\ 6& 4 &1-\lambda\end{vmatrix}=0$

Проверяем будет ли -8 являться собственным числом данной матрицы:

$1) \lambda=-8 \\ \\ \begin{vmatrix}6+8 &6 &6 \\ -6&-4+8 & -1\\ 6&4 &1+8\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}14 &6 &6 \\-6&4&-1\\6& 4 &9\end{vmatrix}=14*4*9-6*4*6-6*1*6- \\ \\ -(6*4*6-6*6*9-14*4*1)=324+236=560\neq 0$

Определитель не равен нулю, следовательно -8 не является собственным числом матрицы А

Проверяем число 0

$2)\lambda=0\\ \\ \begin{vmatrix}6-\lambda &6 &6 \\-6&-4-\lambda & -1\\6&4&1-\lambda \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}6&6&6\\-6&-4&-1\\6&4&1 \end{vmatrix}=0$

(вторая строка определителя пропорционально третьей строке, поэтому этот определитель равен нулю)

значит λ=0 - собственное число матрицы А

теперь находим собственный вектор из матричного уравнения:

$></p> <p><img src=$

$\left\{\begin{matrix}y+z=-x \ \\2y=-5z\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}-2.5z+z=-x \ \\y=-2,5z\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}x=1.5z\ \\y=-2.5z\end{matrix}\right.$

Собственный вектор будет иметь координаты:

$\vec{u}=(1.5z;-2.5z;z)$

Пусть z=-2, тогда

$\vec{u}=(-3;5;-2)$

Ответ: 5;-2

Answer 2

Для того чтобы найти собственные числа и собственные векторы матрицы A, нужно решить уравнение (A - λI)v = 0, где λ - собственное число, I - единичная матрица, v - собственный вектор.

Подставим λ = 0:

1. (A - 0*I)v = Av = 0
2. Найдем ядро матрицы A, т.е. решение системы уравнений Av = 0.

Расширенная матрица системы уравнений (A | 0) примет вид: (6 6 6 | 0) (-6 -4 -1 | 0) (6 4 1 | 0)

Приведем ее к улучшенному ступенчатому виду: (1 1 1 | 0) (0 -10 -5 | 0) (0 0 0 | 0)

Из последней строчки видно, что z может быть любым числом, а y = -0.5z и x = -z. Таким образом, собственный вектор для λ = 0: (-z, -0.5z, z).

Теперь подставим λ = -8:

1. (A - (-8)I)v = (A + 8I)v = Av + 8*v = 0
2. Найдем ядро матрицы A + 8I, т.е. решение системы уравнений (A + 8I)v = 0.

Расширенная матрица системы уравнений (A + 8*I | 0) примет вид: (14 6 6 | 0) (-6 4 -1 | 0) (6 4 9 | 0)

Приведем ее к улучшенному ступенчатому виду: (1 0 2 | 0) (0 1 1 | 0) (0 0 0 | 0)

Из последних двух строк получаем y = -z и x = -2z. Таким образом, собственный вектор для λ = -8: (-2z, -z, z).

Из ответов видно, что значение z одинаково для обоих собственных векторов, поэтому мы можем записать общий собственный вектор для обоих собственных чисел λ = 0 и λ = -8: (-2z, -z, z).

Также в задании требуется записать собственный вектор в виде (-3, p, q). Сравнивая компоненты, мы видим, что -2z = -3, -z = p и z = q.

Ответ: p = 3, q = -3.