Question

Провести полное исследование и построить график функции y= x^4/x^3-1

Answer 1

Ответ:

1. Область определения: x не равно 1.

2. Область значений -- выясним позже, при рассмотрении поведения функции

3. Функция не является ни чётной, ни нечётной.

4. Точки пересечения с осями координат, в т. ч. нули.

x=0 => y=0

f(x)=0 => x=0

5. Области знакопостоянства

Функция может менять знак при переходе через нули или критические точки

Нуль: 0; критическая точка x=1.

В данном случае критическая точка является простой, поэтому при переходе через неё функция меняет знак. А вот нуль -- чётного порядка (4-го) , поэтому при переходе через него функция не меняет знака.

Двигаемся справа налево по числовой оси:

при x>1 y>0

при 0<x<1>2^(2/3) => f'(x)>0 => f(x) строго монотонно возрастает

1<x<2^(2/3)> f'(x)<0 => f(x) строго монотонно убывает

---------------------------------------------

При переходе через x=2^(2/3) f'(x) меняет знак с "-" на "+" => имеем локальный минимум x=2^(2/3); y=(4/3)*2^(2/3)

---------------------------------------------

0<x<1> f'(x)<0 => f(x) строго монотонно убывает

x<0 => f'(x)>0 => f(x) строго монотонно возрастает

---------------------------------------------

При переходе через x=0 f'(x) меняет знак с "+" на "-" => имеем локальный максимум x=0; y=0

7. Области выпуклости и вогнутости; точки перегиба.

При x, не равном 1:

f''(x) = -(2*(-1)*3x^2)/(x^3-1)^2 - (3*(-2)*3x^2)/(x^3-1)^3 = 6x^2/(x^3-1)^3 * (x^3-1+3) = 6x^2(x^3+2)/(x^3-1)^3

Двигаясь по оси x справа налево и учитывая кратность корней и критической точки, получаем:

x>1 => f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз

0<x<1> f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз

-2^(1/3)<x<0> f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз

---------------------------------------------

При переходе через x=0 f''(x) НЕ меняет знака => x=0 НЕ является точкой перегиба

---------------------------------------------

x<-2(1/3) => f''(x)<0 => f(x) выпукла вверх

---------------------------------------------

При переходе через x=-2^(1/3) f''(x) меняет знак => x=-2^(1/3) является точкой перегиба; y=-2*2^(1/3)

8. Возможные асимптоты.

Вертикальная x=1

Горизонтальных нет, т. к. конечного предела f(x) при x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, не существует.

Наклонная: y=x, т. к. при x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, x/(x^3-1) стремится к плюс нулю (соответственно, график приближается к асимптоте сверху)

9. Симметричность графика.

Осей и центров симметрии нет.

Answer 2

Давайте проведем полное исследование функции $y = \frac{x^4}{x^3 - 1}$. Это включает в себя:

1. Определение области определения функции.
2. Анализ поведения функции при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$.
3. Определение точек разрыва функции.
4. Поиск экстремумов и точек перегиба.
5. Построение графика функции.

Давайте начнем.

1. Область определения функции: Функция определена для всех значений $x$, кроме тех, которые делают знаменатель равным нулю, то есть $x \neq 1$.

2. Поведение функции при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$: При $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$ степенная функция $x^4$ растет быстрее, чем $x^3 - 1$, поэтому дробь $\frac{x^4}{x^3 - 1}$ будет стремиться к бесконечности ($+\infty$) при $x \to +\infty$ и к $-\infty$ при $x \to -\infty$.

3. Точки разрыва функции: Точки разрыва возникают, когда знаменатель равен нулю. Решим уравнение $x^3 - 1 = 0$: $x^3 = 1$ $x = 1$ Таким образом, у функции есть вертикальная асимптота при $x = 1$.

4. Экстремумы и точки перегиба: Для нахождения экстремумов и точек перегиба найдем производные функции $y = \frac{x^4}{x^3 - 1}$.

Первая производная: $y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^4}{x^3 - 1} \right)$ $y' = \frac{(x^3 - 1) \cdot 4x^3 - x^4 \cdot 3x^2}{(x^3 - 1)^2}$ $y' = \frac{4x^6 - 3x^6}{(x^3 - 1)^2}$ $y' = \frac{x^6}{(x^3 - 1)^2}$

Теперь найдем точки, где $y' = 0$: $x^6 = 0 \implies x = 0$

Теперь рассмотрим вторую производную: $y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^6}{(x^3 - 1)^2} \right)$ $y'' = \frac{(x^3 - 1)^2 \cdot 6x^5 - x^6 \cdot 2(x^3 - 1) \cdot 3x^2}{(x^3 - 1)^4}$ $y'' = \frac{6x^8 - 6x^5(x^3 - 1) - 6x^8}{(x^3 - 1)^4}$ $y'' = \frac{-6x^8 + 6x^8}{(x^3 - 1)^4}$