Question

Многочлен степени 14 имеет хотя бы три разных вещественных корня. Какое наименьшее количество ненулевых коэффициентов может у него быть?

Answer 1

Два. Например

$x^{14}-x^{12}$

Answer 2

Для многочлена степени 14 с хотя бы тремя различными вещественными корнями существует нижняя граница для количества ненулевых коэффициентов.

Пусть у нашего многочлена есть три различных вещественных корня. Тогда у нас должно быть три линейных множителя вида (x - a), (x - b) и (x - c), где a, b и c - вещественные числа и a ≠ b ≠ c.

Таким образом, многочлен степени 14 с тремя различными вещественными корнями имеет вид:

f(x) = k * (x - a) * (x - b) * (x - c) * (d_1 * x^11 + d_2 * x^10 + ... + d_12 * x + d_13)

где k - произвольный ненулевой коэффициент, d_1, d_2, ..., d_12 - некоторые коэффициенты, которые могут быть равны нулю, а d_13 - последний ненулевой коэффициент.

Таким образом, наименьшее количество ненулевых коэффициентов у такого многочлена равно 4: это коэффициенты k, d_13, d_12 и d_1. Все остальные коэффициенты d_2, d_3, ..., d_11 могут быть равны нулю, и многочлен все равно будет удовлетворять условию иметь три различных вещественных корня.