Question

Докажите, что существует бесконечно много натуральных нечетных n таких, что число - составное. 2^n + n

Answer 1

Ответ:

Пошаговое обьяснение:

заметим , что 2 в нечетной степени при делении на 3 дает остаток 2 , это значит , что все числа вида 2^n + n будут делится на 3 , при всех нечетных n , дающих при делении на 3 остаток 1, таких нечетных чисел бесконечно много , т.к. их можно представить в виде 3а + 1 , где а - четное число ( любое) , следовательно все числа 2^n + n , где n = 3a + 1 ( и а - четное) будут делиться на 3 , на 1 , на само себя , следовательно не будут простыми. Например 2 ^ 7 + 7 =128 + 7 = 135 сумма цифр кратна 3 , значит и число кратно 3 ( 1 + 3 + 5 = 9 )

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции. Мы покажем, что существует бесконечно много натуральных нечетных чисел n, для которых выражение 2^n + n является составным числом.

Шаг 1: Базовый случай Для n = 1, выражение 2^1 + 1 = 3 уже является составным числом (3 = 1 * 3). Таким образом, базовый случай доказан.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что для некоторого натурального нечетного числа k, выражение 2^k + k является составным числом.

Шаг 3: Шаг индукции Докажем, что существует натуральное нечетное число (k + 2), для которого выражение 2^(k+2) + (k + 2) также является составным числом.

Рассмотрим выражение для n = k + 2: 2^(k+2) + (k + 2) = 4 * 2^k + (k + 2) = 2^2 * 2^k + (k + 2) = (2^k)^2 + 2 * 2^k + (k + 2).

Мы видим, что в этом выражении можно применить формулу квадрата суммы: a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2.

В нашем случае: a = 2^k и b = (k + 2).

Таким образом, выражение принимает вид: (2^k)^2 + 2 * 2^k + (k + 2) = (2^k + (k + 2))^2.

Теперь мы можем заметить, что (2^k + (k + 2)) является натуральным числом (так как k и (k + 2) оба являются натуральными числами), и оно также нечетное, так как сумма четного и нечетного числа всегда нечетна.

Таким образом, мы получили, что для n = k + 2, выражение 2^(k+2) + (k + 2) является квадратом некоторого натурального числа (2^k + (k + 2)), что делает его составным числом.

Итак, мы доказали по индукции, что существует бесконечно много натуральных нечетных чисел n, для которых выражение 2^n + n является составным числом.