Question

Докажите что при любом натуральном n число n(2n^2 + 1) кратно 3

Answer 1

Если n кратно 3, то это выражение кратно трём.
Если n не кратно 3, то чтобы это выражение должно было кратно 3, надо чтобы (2n²+1) было кратно 3. При деление на 3 n² даёт остаток 1(при n не кратном 3). Значит, 2n² даёт остаток 2. А если ещё прибавить единицу, то 2n²+1 будет делится на 3.
Что и требовалось доказать.

Answer 2

Доказательство методом математической индукции

Answer 3

Для доказательства этого утверждения, воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая. Для n = 1: n(2n^2 + 1) = 1(2*1^2 + 1) = 1(2 + 1) = 1 * 3 = 3, что кратно 3.

Шаг 2: Предположение индукции. Пусть утверждение верно для некоторого натурального числа k, т.е. k(2k^2 + 1) кратно 3.

Шаг 3: Доказательство для (k+1). Рассмотрим выражение для (k+1): (k+1)(2(k+1)^2 + 1)

Раскроем скобки: (k+1)(2(k^2 + 2k + 1) + 1) (k+1)(2k^2 + 4k + 2 + 1) (k+1)(2k^2 + 4k + 3)

Теперь умножим числа в скобках: 2k^3 + 4k^2 + 3k + 2k^2 + 4k + 3

Сгруппируем слагаемые: (2k^3 + 2k^2) + (4k^2 + 4k) + (3k + 3)

Теперь заметим, что каждое слагаемое является кратным 3:

1. 2k^3 + 2k^2: это произведение k^2 (квадрат натурального числа) на 2. Так как k^2 кратно 3 (по предположению индукции), то и произведение на 2 также кратно 3.
2. 4k^2 + 4k: это произведение k (натуральное число) на 4. Так как k кратно 3 (по предположению индукции), то и произведение на 4 также кратно 3.
3. 3k + 3: это произведение 3 на k (натуральное число). Так как k кратно 3 (по предположению индукции), то и произведение на 3 также кратно 3.

Таким образом, каждое слагаемое кратно 3, а значит, и их сумма кратна 3.

Итак, мы показали, что если утверждение верно для некоторого натурального числа k, то оно верно и для числа (k+1). Таким образом, утверждение верно для всех натуральных чисел n по принципу математической индукции. Q.E.D.