Question

Найти последнюю цифру числа 98^42

Answer 1

Ответ:

4

Пошаговое объяснение:

можно рассматривать 8⁴², т.к. интересует только последняя цифра

8¹ = 8

8² = 64

8³ = ...2

8⁴ = ...6

8⁵ = ...8

8⁶ = ...4

и т.д. т.е. каждые 4 степени образуют цикл

8⁴ⁿ - оканчивается на 6

8⁴² = 8⁴⁰ * 8² ≡ 6 * 64 ≡ 384 ≡ 4 (mod 10)

запись a ≡ b (mod c) означает, что a и b дают одинаковые остатки при делении на с

Значит, последняя цифра числа 98⁴² равна 4

Answer 2

Для того чтобы найти последнюю цифру числа 98^42, можно воспользоваться свойствами арифметики.

Заметим, что последние цифры чисел повторяются периодически. Например, для числа 8:

8^1 = 8 8^2 = 64 8^3 = 512 8^4 = 4096

Мы видим, что последняя цифра меняется в следующем порядке: 8, 4, 2, 6. Таким образом, степени числа 8 имеют периодичность 4.

Теперь рассмотрим степени числа 9:

9^1 = 9 9^2 = 81 9^3 = 729 9^4 = 6561

Последняя цифра чисел также меняется в следующем порядке: 9, 1, 9, 1. Здесь также периодичность равна 4.

Теперь мы можем рассмотреть степени числа 98. Так как 98 = 9 * 10 + 8, то 98^n = (9 * 10 + 8)^n.

Применяя бином Ньютона для возведения в степень:

98^n = (9 * 10 + 8)^n = Σ [nCk * (9 * 10)^k * 8^(n-k)], где Σ - сумма по всем k от 0 до n, nCk - число сочетаний (биномиальный коэффициент).

Так как при умножении на 10 и возведении в степень 9 и 8 сохраняют свои последние цифры, нам интересует только последняя цифра этой суммы.

Поскольку периодичность последней цифры степени 9 и 8 равна 4, нам нужно вычислить 42 mod 4:

42 mod 4 = 2

Таким образом, последняя цифра числа 98^42 будет такая же, как у 98^2.

Теперь вычислим:

98^2 = 98 * 98 = 9604

Последняя цифра числа 9604 равна 4.

Итак, последняя цифра числа 98^42 равна 4.