Question

Исследовать функцию y = f(x) на непрерывность. Построить схематично график функции. Указать характер точек разрыва и величину скачка. 1) y = 3^(1/(x-1)^2 )2) y =3^x если x<1, 2-x если x≥1

Answer 1

ну ответ ты сам напишешь

Answer 2

Для исследования непрерывности функций необходимо рассмотреть их определение, точки разрыва и возможные скачки значений.

1. Функция y = 3^(1/(x-1)^2):

Для начала, обратим внимание на знаменатель в показателе степени (x-1)^2. Чтобы функция была определена, знаменатель не должен равняться нулю, то есть (x-1)^2 ≠ 0. Это значит, что x ≠ 1. Следовательно, точка x = 1 является точкой разрыва.

Теперь рассмотрим пределы функции при приближении x к 1 слева и справа:

• Предел при x → 1- (слева): x < 1 → (x-1)^2 < 0, и так как знаменатель в показателе степени отрицательный, предел стремится к бесконечности.
• Предел при x → 1+ (справа): x > 1 → (x-1)^2 > 0, и так как знаменатель положительный, предел стремится к нулю.

Таким образом, у функции есть вертикальный разрыв в точке x = 1, и пределы справа и слева от этой точки различны, что говорит о наличии бесконечного скачка значений в этой точке.

2. Функция y = 3^x, если x < 1, и y = 2-x, если x ≥ 1:

Для определения непрерывности функции на всей числовой оси нужно рассмотреть её поведение в точке x = 1, где происходит разделение на две части.

• Предел функции при x → 1- (слева): x < 1 → 3^x стремится к 3^1 = 3.
• Предел функции при x → 1+ (справа): x > 1 → 2-x стремится к 2-1 = 1.

В точке x = 1, левый и правый пределы функции различны, что означает наличие разрыва.

Теперь давайте построим схематично графики функций:

1. График функции y = 3^(1/(x-1)^2):

luaCopy code
     |             
  ∞  |           *
     |         *   
     |      *      
     |    *        
     |  *          
     | *           
  0  |*____________
     |             
     --------------
      0    1    2 

2. График функции y = 3^x, если x < 1, и y = 2-x, если x ≥ 1:

yamlCopy code
     |             
     |        *    
  3  |       *     
     |      *      
     |    *        
     |  *          
  2  |* *__________
     |             
     |        *    
  1  |       *     
     |      *      
     |    *        
  0  |* *__________
     |             
     --------------
      0    1    2 

На графиках видно, что первая функция имеет вертикальный разрыв в точке x = 1 с бесконечным скачком значений. Вторая функция имеет разрыв в точке x = 1 с конечным скачком значений.