Question

Как сравнить log (5) 3 и log (3) (5/3)

Answer 1

Ответ:

log₅(3) > log₃(5/3)

Пошаговое объяснение:

Так как 3 и  5/3 больше 1 то значение логарифмов больше нуля

log₅(3) > 0

log₃(5/3) > 0

Поэтому в начале сравнения прибавим 1 к логарифмам

log₅(3) ∨ log₃(5/3)

log₅(3) + 1 = log₅(3) + log₅(5) = log₅(3·5) = log₅(15)

log₃(5/3) + 1 = log₃(5/3) + log₃(3) = log₃(5)

log₅(15) ∨ log₃(5)

Далее  умножим оба логарифма на 2

2log₅(15) = log₅(15²) = log₅(225)

2log₃(5) = log₃(5²) = log₃(25)

log₅(225) ∨ log₃(25)

Оцениваем логарифмы

log₅(125)  < log₅(225) < log₅(625)  

          3  < log₅(225) < 4        

log₃(9) < log₃(25) < log₃(27)

          2 < log₃(25) < 3

Из оценок следует,что  log₅(225) > 3 > log₃(25)

Значит log₅(3) > log₃(5/3)

Answer 2

Для сравнения выражений log(5)3 и log(3)(5/3), мы можем использовать свойства логарифмов.

1. Напомним свойство логарифмов: log(a)b = log(c)b / log(c)a, где "c" - база логарифма (основание).

2. Посмотрим на выражение log(5)3: Здесь "5" - база логарифма, "3" - значение логарифма, и нам нужно найти основание "c" такое, что log(c)3 = log(5)3.

3. Теперь посмотрим на выражение log(3)(5/3): Здесь "3" - база логарифма, "5/3" - значение логарифма, и нам нужно найти основание "c" такое, что log(c)(5/3) = log(3)(5/3).

Теперь давайте рассмотрим каждое выражение по отдельности:

1. log(5)3: Нам нужно найти такое "c", что log(c)3 = log(5)3. Применяя свойство логарифмов, получим: log(c)3 = log(c)5 / log(c)3. Теперь перенесем log(c)3 на левую сторону уравнения: log(c)3 - log(c)5 / log(c)3 = 0. Теперь объединим логарифмы с одинаковой базой: log(c)3 - (log(c)5) / (log(c)3) = 0. Далее, умножим обе стороны уравнения на log(c)3: (log(c)3)^2 - log(c)5 = 0. Теперь перенесем log(c)5 на правую сторону: (log(c)3)^2 = log(c)5. Возведем обе стороны уравнения в степень 2: (log(c)3)^2 = (log(c)5)^2. Теперь избавимся от квадрата, взяв квадратный корень: log(c)3 = ±log(c)5.

   Таким образом, мы получили два возможных равенства для log(5)3: a) log(c)3 = log(c)5, или b) log(c)3 = -log(c)5.

2. log(3)(5/3): Нам нужно найти такое "c", что log(c)(5/3) = log(3)(5/3). Тут основание "c" уже задано и равно "3". Поэтому log(3)(5/3) = log(3)5 / log(3)3. Заметим, что log(3)3 = 1, так как логарифм с основанием равным его базе всегда равен 1. Таким образом, log(3)(5/3) = log(3)5.

Сравнив оба выражения, мы видим, что: log(5)3 может быть равен log(c)5 или -log(c)5, в то время как log(3)(5/3) равен log(3)5.

Таким образом, мы не можем с уверенностью сказать, какое из выражений больше, так как это зависит от значения "c" - основания логарифма, которое не было задано. Если бы мы знали значение "c", мы могли бы точно сравнить оба выражения.