Question

Найти точки экстреннума через производную f(x) =2x^3-3x^2-12x+8 Построить график функиции с решением через производную y=x^3-6x^2+16

Answer 1

Применены формулы дифференцирования, взаимозависимость функции и производной

Answer 2

ДАНО:Y(x) = x^3 -6*x² +(16)

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) = R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая

2. Пересечение с осью OХ.  

Применим теорему Безу. х1*х2*х*х3 = 16

Разложим многочлен на множители. Y=(x+1,46)*(x-2)*(x-5,46)

Нули функции: Х₁ =-1,46, Х₂ =2,  Х₃ =5,46

3. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательная - Y(x)<0 X=(-∞;-1,46]U[2;5,46]  

Положительная -Y(x)>0 X=[-1,46;2]U[5,46;+∞)

4. Пересечение с осью OY. Y(0) =   16

5. Исследование на чётность.  

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x),  Функция ни чётная, ни нечётная.  

6. Первая производная.    Y'(x) =  3*x² -12*x = 0

Корни Y'(x)=0.     Х4=0   Х5=4

Положительная парабола -  отрицательная между корнями .

7. Локальные экстремумы.  

Максимум  Ymax(X4=0) =16.   Минимум Ymin(X5=4) = -16

8. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает Х=(-∞;0;]U[4;+∞) , убывает - Х=[0;4]

9. Вторая производная - Y"(x) = 6* x -12 = 0

Корень производной - точка перегиба Х₆=2

10. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆=2]

Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆=2; +∞).

11. График в приложении.

Answer 3

Для нахождения точек экстремума функции f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 8, нужно найти производную функции и приравнять её к нулю, затем решить уравнение для x.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 8) f'(x) = 6x^2 - 6x - 12

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение: 6x^2 - 6x - 12 = 0

3. Решим уравнение: Для этого разделим уравнение на 6: x^2 - x - 2 = 0

Факторизуем уравнение: (x - 2)(x + 1) = 0

Таким образом, получаем два значения x: x = 2 и x = -1.

Теперь найдем соответствующие значения y, подставив найденные x обратно в исходную функцию:

При x = 2: y = 2^3 - 3 * 2^2 - 12 * 2 + 8 y = 8 - 12 - 24 + 8 y = -20

При x = -1: y = (-1)^3 - 3 * (-1)^2 - 12 * (-1) + 8 y = -1 - 3 + 12 + 8 y = 16

Таким образом, точки экстремума функции f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 8 находятся в точках (2, -20) и (-1, 16).

Теперь построим график функции y = x^3 - 6x^2 + 16:

Для построения графика можно использовать различные программы и онлайн-ресурсы. Ниже представлен график функции y = x^3 - 6x^2 + 16, созданный с помощью Python и библиотеки Matplotlib:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Задаем функцию
def f(x):
    return x**3 - 6*x**2 + 16

# Генерируем значения x от -5 до 5
x = np.linspace(-5, 5, 100)

# Вычисляем соответствующие значения y
y = f(x)

# Строим график
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции y = x^3 - 6x^2 + 16')
plt.grid(True)
plt.axhline(0, color='black', lw=0.5)
plt.axvline(0, color='black', lw=0.5)
plt.show()

На графике вы увидите кривую, которая будет проходить через точки экстремума (1, 16) и (2, -20), если вы все правильно нашли ранее.