Question

5x^2+9y^2-30x+18y+9=0 Какую кривую определяет данное уравнение? Найти её центр, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис.

Answer 1

Выделяем полные квадраты:  

для x:  5(x²-2*3x + 3²) -5*3² = 5(x-3)²-45,  

для y:  9(y²+2*1y + 1) -9*1 = 9(y+1)²-9.  

В итоге получаем:  5(x-3)² + 9(y+1)² = 45  

Разделим все выражение на 45 :  ((x-3)²/9) +((y+1)²/5) = 1.

Параметры кривой - это эллипс, его полуоси a = 3 и b = √5.  

Центр эллипса в точке:  C(3; -1)  

Координаты фокусов F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами : F1(-2;0), F2(2;0).  с = √(9 - 5) = +-√4 = +-2.

С учетом центра, координаты фокусов равны:

F1((-2+3)=1;-1), F2((2+3)=5;-1).  

Эксцентриситет равен:  е = с/а = 2/3.

Вследствие неравенства c < a эксцентриситет эллипса меньше 1.

Answer 2

Данное уравнение определяет эллипс. Чтобы найти его центр, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис, сначала приведем уравнение эллипса к стандартному виду:

Общее уравнение эллипса: $Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0.$

Для этого нужно выполнить следующие шаги:

1. Сгруппируем переменные x и y: $5x^2 - 30x + 9 + 9y^2 + 18y = 0.$

2. Перенесем свободный член на другую сторону: $5x^2 - 30x + 9 + 9y^2 + 18y - 9 = 0.$

3. Завершим квадрат для переменных x и y: $5(x^2 - 6x) + 9(y^2 + 2y) = 0.$

4. Добавим компенсирующие члены в скобки (по половине коэффициента перед x и y, возведенных в квадрат): $5(x^2 - 6x + 9) + 9(y^2 + 2y + 1) = 0.$

5. Вынесем скобки и упростим: $5(x - 3)^2 + 9(y + 1)^2 - 45 + 9 = 0.$

6. Для удобства, разделим уравнение на 9: $\frac{(x - 3)^2}{9} + \frac{(y + 1)^2}{5} = 1.$

Теперь уравнение эллипса приведено к стандартному виду: $\frac{(x - 3)^2}{3^2} + \frac{(y + 1)^2}{\sqrt{5}^2} = 1.$

Из стандартного уравнения можно сразу определить характеристики эллипса:

Центр эллипса: (h, k) = (3, -1). Полуоси: a = 3 и b = √5 (квадратный корень из 5). Эксцентриситет: e = c/a, где c - расстояние от центра до фокусов. В данном случае, c = √(a^2 - b^2) = √(3^2 - √5^2) = √(9 - 5) = √4 = 2. Таким образом, e = 2/3.

Уравнения директрис: Директрисы эллипса представляют собой две прямые, расположенные симметрично относительно центра эллипса и перпендикулярные его большой оси. Они определяются следующим образом:

Для вертикального эллипса: y = k ± (a/e).

В нашем случае, когда центр эллипса находится в точке (3, -1), большая ось вертикальна, и уравнения директрис будут:

1. y = -1 + (3/(2/3)) = -1 + 9/2 = -1 + 4.5 = 3.5.
2. y = -1 - (3/(2/3)) = -1 - 9/2 = -1 - 4.5 = -5.5.

Таким образом, уравнения директрис: y = 3.5 и y = -5.5.