Question

Построить кривую, заданную уравнением. Найти: а) полуоси (для эллипса и гиперболы); б) координаты фокусов; в) эксцентриситет (для эллипса и гиперболы); г) уравнения директрис.

Answer 1

Это уравнение эллипса.
Решение в приложении.

Answer 2

$x^2+4y^2-4y-1=0\\\\x^2+4(y^2-y)=1\\\\x^2+4(y-\frac{1}{2})^2-4\cdot \frac{1}{4}=1\\\\x^2+4(y-\frac{1}{2})^2=2\; |:2\\\\ \frac{x^2}{2}+\frac{(y-\frac{1}{2})^2}{\frac{1}{2}} =1\; \; \; \; -\; \; ellips\; ,\; \; centr\; v\; \; tochke\; \; C(0,\frac{1}{2}) \\\\a^2=2\; \; \to \; \; a=\sqrt2\\\\b^2=\frac{1}{2}\; \; \to \; \; b=\frac{1}{\sqrt2}\\\\a\ \textgreater \ b\; \; \Rightarrow \; \; c^2=a^2-b^2=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\; ,\; \; c=\sqrt{\frac{3}{2}}$

$F_1(\sqrt{\frac{3}{2}},\frac{1}{2})\; ,\; \; F_2(-\sqrt{\frac{3}{2}},\frac{1}{2})$

$\varepsilon =\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{3}{2}}:\sqrt2= \frac{\sqrt3}{2}\; \; \; ekscentrisitet\\\\x=\pm \frac{a}{\varepsilon } =\pm \frac{a^2}{c} =\pm \frac{2}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \pm \frac{2\sqrt2}{\sqrt3}\; \; \; dve\; \; direktrisu$