Question

Найти grad z (M) если z=y^3sin2x , M(pi/4;2)

Answer 1

Ответ:

$grad(z)_M=(0,12)$

Пошаговое объяснение:

$z = y^3*sin(2x) \\\\ grad(z)=(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}) = (2y^3cos(2x), 3y^2sin(2x)) \\\\ grad(z)_M=(2*2^3cos(\frac{\pi}{2} ), 3*2^2sin(\frac{\pi}{2} )) =(0,12)$

Answer 2

Для нахождения градиента функции z(M) = y^3sin(2x) в точке M(π/4; 2), нам нужно вычислить производные по x и y и составить вектор из полученных значений.

Начнем с частной производной по x. Для этого возьмем производную функции z(M) по x, считая y константой: ∂z/∂x = ∂/∂x(y^3sin(2x)).

Производная sin(2x) по x равна: d/dx(sin(2x)) = 2cos(2x).

Теперь продифференцируем y^3 по x: d/dx(y^3) = 0, так как y является константой в данной производной.

Теперь рассмотрим частную производную по y. Для этого возьмем производную функции z(M) по y, считая x константой: ∂z/∂y = ∂/∂y(y^3sin(2x)).

Производная y^3 по y равна: d/dy(y^3) = 3y^2.

Теперь составим градиент (grad z) функции z(M) в точке M(π/4; 2): grad z = (∂z/∂x, ∂z/∂y) = (0, 3y^2 * sin(2x)).

Теперь, чтобы получить значение градиента в точке M(π/4; 2), подставим x = π/4 и y = 2 в наши выражения: grad z(M(π/4; 2)) = (0, 3 * 2^2 * sin(2 * π/4)) = (0, 12 * sin(π/2)) = (0, 12).

Таким образом, градиент функции z(M) в точке M(π/4; 2) равен (0, 12).