Question

Центры четырех равных окружностей радиуса 2 находятся в вершинах квадрата со стороной 4. Найдите радиус окружности, касающейся всех этих четырех оружностей.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения данной задачи можно воспользоваться свойствами окружностей и касательных. Обозначим радиус искомой окружности через R.

1. Рисуем квадрат со стороной 4 и размещаем четыре окружности радиуса 2 с центрами в вершинах квадрата.

2. Соединяем центры соседних окружностей и проводим касательные к этим окружностям (см. рисунок ниже). Обозначим точки касания как A, B, C и D.

cssCopy code
      B
    / | \
   /  |  \
A ------------ D
   \  |  /
    \ | /
      C

3. Так как радиус окружности перпендикулярен к касательной в точке касания, то получаем, что отрезки AO, BO, CO и DO являются радиусами четырех маленьких окружностей.

4. Отметим точку O - центр искомой окружности.

5. Поскольку маленькие окружности радиуса 2 касаются квадрата со стороной 4, то длина отрезка AD (или BC) равна 4. А так как AO и AD являются радиусами соседних окружностей и образуют прямоугольный треугольник AOD, то можем записать уравнение:

   AO^2 + AD^2 = OD^2

   AO^2 + 4^2 = R^2

   AO^2 = R^2 - 16

6. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Согласно теореме Пифагора:

   AB^2 + BC^2 = AC^2

   AB^2 + 4^2 = 2R^2

   AB^2 = 2R^2 - 16

7. Из треугольника AOB можно получить еще одно уравнение:

   AO^2 + AB^2 = OB^2

   R^2 - 16 + 2R^2 - 16 = (2R)^2

   R^2 - 16 + 2R^2 - 16 = 4R^2

   3R^2 = 48

   R^2 = 16

8. Таким образом, радиус искомой окружности равен 4.