Question

Помогите решить диф уравнение xy'+1+y^2=0

Answer 1

Рассмотрите предложенное решение.

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, так как можно переписать его в виде:

xy' + y^2 = -1.

Для его решения следуйте следующим шагам:

Шаг 1: Перепишите уравнение, выделяя y' на одну сторону:

xy' = -y^2 - 1.

Шаг 2: Разделим обе стороны уравнения на (-y^2 - 1):

y' = -y^2 / x - 1 / x.

Шаг 3: Теперь выразим y' относительно y, чтобы получить уравнение, которое можно будет интегрировать:

y' = -y^2 / x - 1 / x,

y' + y^2 / x = -1 / x.

Шаг 4: Это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Используем метод интегрирующего множителя (integrating factor) μ(x):

μ(x) = e^(∫(1/x) dx) = e^(ln|x|) = |x|.

Шаг 5: Умножим обе стороны уравнения на μ(x):

|x| y' + |x| y^2 / x = -|x| / x.

Шаг 6: Упростим уравнение:

|x| y' + |x| y = -1.

Шаг 7: Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(|x| y' + |x| y) dx = ∫(-1) dx.

Шаг 8: Проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:

∫(|x| y' dx) + ∫(|x| y dx) = -∫dx.

Шаг 9: Интегрирование слагаемых:

∫(|x| y' dx) = -∫dx,

∫(|x| y dx) = -∫dx.

Шаг 10: Получим:

|x| y = -x + C₁, где C₁ - произвольная постоянная.

Шаг 11: Выразим y:

y = (-x + C₁) / |x|.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

y = (-x + C₁) / |x|.

где C₁ - произвольная постоянная.