Question

составьте уравнение окружности которая проходит через точки А(-4;1) и В(8;5) и центр которой принадлежит сои абсцисс.

Answer 1

Ответ:

$(x-3)^{2} +y^{2}=50$

Пошаговое объяснение:

По условию, центр окружности принадлежит оси абсцисс, то есть лежит на оси Х, следовательно, координата по оси У равна нулю. Обозначим координаты центра окружности как (х',0).

Построим вектора из центра окружности О до точек А и В. Модуль вектора - корень из суммы квадратов его координат.

ОА={-4-x';1}, |OA|=$\sqrt{(-4-x')^{2}+1^{2}}$

OB={8-x';5}, |OB|=$\sqrt{(8-x')^{2}+5^{2}}$

Модули векторов равны, так как точки лежат на окружности и, следовательно, равноудалены от центра на расстояние радиуса.

$(4+x')^{2}+1=(8-x')^{2}+25\\16+8x'+x'^{2}+1=64-16x'+x'^{2}+25\\24x'=72\\x'=3$

Значит, координаты центра окружности - (3,0).

Находим радиус окружности R=|OA|=|OB|=√(4+3)^2+1=√50.

Составляем уравнение окружности:

$(x-x')^{2}+y^{2}=R^{2}\\(x-3)^{2}+y^{2}=50$

Примечание: жирным шрифтом выделены вектора.

Answer 2

Для составления уравнения окружности, которая проходит через точки А(-4, 1) и В(8, 5) и центр которой лежит на оси абсцисс, мы можем воспользоваться следующим подходом.

Пусть (h, 0) - координаты центра окружности. Тогда используем два условия:

1. Расстояние от центра окружности до точки А(-4, 1) должно быть равно радиусу.
2. Расстояние от центра окружности до точки В(8, 5) должно быть равно радиусу.

Поскольку радиус одинаков для обеих точек, можем записать:

$\sqrt{(h-(-4))^2 + (0-1)^2} = \sqrt{(h-8)^2 + (0-5)^2}$

Раскрываем скобки:

$\sqrt{(h+4)^2 + 1} = \sqrt{(h-8)^2 + 25}$

Теперь избавимся от квадратных корней, возведя обе части уравнения в квадрат:

$(h+4)^2 + 1 = (h-8)^2 + 25$

Раскрываем квадраты:

$h^2 + 8h + 16 + 1 = h^2 - 16h + 64 + 25$

Упрощаем уравнение:

$8h + 17 = -16h + 89$

Теперь выразим h:

$8h + 16h = 89 - 17$ $24h = 72$ $h = 3$

Таким образом, координата центра окружности составит (3, 0).

Теперь, чтобы найти радиус окружности, используем одно из начальных условий:

$\text{Радиус} = \sqrt{(h-(-4))^2 + (0-1)^2} = \sqrt{(3+4)^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

Таким образом, уравнение окружности будет иметь вид:

$(x - 3)^2 + y^2 = (5\sqrt{2})^2$ $(x - 3)^2 + y^2 = 50$