Question

Упростить выражение (Cos^2 a * Cos^2 b + 2sina * sinb * cosa * cosb +sin^2 a * sin^2 b ) : cos(a-b)

Answer 1

Ответ:

cos(a-b)

Пошаговое объяснение:

$\dfrac{cos^2 a * cos^2 b + 2sina * sinb * cosa * cosb +sin^2 a * sin^2 b }{cos(a-b)} =\\\\=\dfrac{(cosa * cosb + sina * sinb)^2 }{cos(a-b)} =\dfrac{(cos(a-b))^2 }{cos(a-b)}=cos(a-b)$

Answer 2

Для упрощения данного выражения, воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы преобразовать его в более простую форму.

Тригонометрические тождества, которые нам понадобятся:

1. cos(a - b) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b)
2. sin^2(x) = 1 - cos^2(x)
3. cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Теперь, применим эти тождества к данному выражению:

(Cos^2(a) * Cos^2(b) + 2 * sin(a) * sin(b) * cos(a) * cos(b) + sin^2(a) * sin^2(b)) / cos(a - b)

Используем тождество 2: sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

(1 - sin^2(a)) * (1 - sin^2(b)) + 2 * sin(a) * sin(b) * cos(a) * cos(b) + sin^2(a) * sin^2(b) / cos(a - b)

Используем тождество 3: cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

(1 - sin^2(a)) * (1 - sin^2(b)) + 2 * sin(a) * sin(b) * (1 - sin^2(a)) * (1 - sin^2(b)) + sin^2(a) * sin^2(b) / cos(a - b)

Теперь, упростим выражение, раскрыв скобки:

(1 - sin^2(a) - sin^2(b) + sin^2(a) * sin^2(b)) + 2 * sin(a) * sin(b) * (1 - sin^2(a)) * (1 - sin^2(b)) + sin^2(a) * sin^2(b) / cos(a - b)

Теперь, рассмотрим первые два слагаемых:

1 - sin^2(a) - sin^2(b) + sin^2(a) * sin^2(b) + 2 * sin(a) * sin(b) * (1 - sin^2(a)) * (1 - sin^2(b))

Обратите внимание, что sin^2(a) * sin^2(b) и 2 * sin(a) * sin(b) * (1 - sin^2(a)) * (1 - sin^2(b)) имеют одинаковый вид.

(1 - sin^2(a) - sin^2(b) + sin^2(a) * sin^2(b) + 2 * sin(a) * sin(b) * (1 - sin^2(a)) * (1 - sin^2(b))) = 1 - sin^2(a) - sin^2(b) + sin^2(a) * sin^2(b) + 2 * sin(a) * sin(b) * cos(a) * cos(b)

Используем тождество 1: cos(a - b) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b)

Теперь, выражение имеет вид:

1 - sin^2(a) - sin^2(b) + sin^2(a) * sin^2(b) + 2 * sin(a) * sin(b) * cos(a) * cos(b) / cos(a - b)

Упростим еще немного:

1 - (sin^2(a) + sin^2(b)) + sin^2(a) * sin^2(b) + 2 * sin(a) * sin(b) * cos(a) * cos(b) / cos(a - b)

Теперь, используем тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

1 - (1 - cos^2(a) - 1 + cos^2(b)) + sin^2(a) * sin^2(b) + 2 * sin(a) * sin(b) * cos(a) * cos(b) / cos(a - b)

Теперь, упростим еще:

cos^2(a) + cos^2(b) + sin^2(a) * sin^2(b) + 2 * sin(a) * sin(b) * cos(a) * cos(b) / cos(a - b)

Теперь, используем тригонометрическое тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x):

(1 - sin^2(a)) + (1 - sin^2(b)) + sin^2(a) * sin^2(b) + 2 * sin(a) * sin(b) * cos(a) * cos(b) / cos(a - b)

Теперь, снова применим тригонометрическое тождество 2: sin^2(x) = 1 - cos^2(x):

(1 - cos^2(a)) + (1 - cos^2(b)) + sin^2(a) * sin^2(b) + 2 * sin(a) * sin(b) * cos(a) * cos(b) / cos(a - b)

Теперь, снова упростим:

sin^2(a) + sin^2(b) + sin^2(a) * sin^2(b) + 2 * sin(a) * sin(b) * cos(a) * cos(b) / cos(a - b)

Теперь, используем тригонометрическое тождество sin^2(x) = 1 - cos^2(x):

(1 - cos^2(a)) + (1 - cos^2(b)) + (1 - cos^2(a)) * (1 - cos^2(b)) + 2 * sin(a) * sin(b) * cos(a) * cos(b) / cos(a - b)

Теперь, упростим снова:

1 - cos^2(a) + 1 - cos^2(b) + (1 - cos^2(a)) * (1 - cos^2(b)) + 2 * sin(a) * sin(b) * cos(a) * cos(b) / cos(a - b)

Теперь, раскроем скобки:

1 - cos^2(a) + 1 - cos^2(b) + (1 - cos^2(a) - cos^2(b) + cos^2(a) * cos^2(b)) + 2 * sin(a) * sin(b) * cos(a) * cos(b) / cos(a - b)

Теперь