Question

Исследовать и построить график функции. Полностью с решением: y=3-3x+x^3

Answer 1

Дано: y = x³ - 3*x + 3

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) = R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая

2. Пересечение с осью OХ.  

Y(x)=0 Нуль функции Х1 = - 2,1038 - (без комментариев).

3. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательная: Y<0 - X∈(-∞;X1], положительная: X∈[X1;+∞)

Функция непрерывная - скобки при Х -  квадратные!!!

4. Пересечение с осью OY. Y(0) =   3

5. Исследование на чётность.  

Важно!!! У нечётных - только нечётные степени, у чётных -  только чётные. Здесь имеем - 3, 1, 0.

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x) не нечётная,

 Функция ни чётная, ни нечётная - функция общего вида.  

6. Первая производная.    Y'(x) =  3*x² -3 = 0

Корни Y'(x)=0.     Х4=-1   Х5=1

Производная - положительная парабола -  отрицательная между корнями

7. Локальные экстремумы.  

Максимум  Ymax(X4=-1) =5.   Минимум Ymin(X5=1) =1

8. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает Х∈(-∞;-1;]U[1;+∞) , убывает - Х∈[-1;1]

9. Вторая производная - Y"(x) = 6* x  = 0

Корень производной - точка перегиба Х₆= 0

10. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆=0]

Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆=0; +∞).

11. График в приложении.  Дополнительно график-шаблон для описания функции.

Answer 2

Для исследования и построения графика функции y = 3 - 3x + x^3 следует выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
2. Найти значения функции в точке пересечения с осями координат.
3. Найти производную функции для определения экстремумов и точек перегиба.
4. Найти вторую производную для анализа выпуклости/вогнутости функции.
5. Найти точки пересечения с осью абсцисс.
6. Построить график, учитывая все найденные характеристики.

Давайте приступим:

1. Область определения функции: Функция y = 3 - 3x + x^3 определена для всех значений x, так как многочлен имеет значение в любой точке.

2. Значения функции в точке пересечения с осями координат: a) При x = 0: y = 3 - 3(0) + (0)^3 = 3 b) При y = 0: 0 = 3 - 3x + x^3 x^3 - 3x + 3 = 0

Для нахождения корней этого уравнения используем численные методы или графический метод (например, метод бисекции или метод Ньютона). Один из корней будет x ≈ 1.8793852415732 (округлено до 13 знаков после запятой).

3. Найдем производную функции: y' = d/dx (3 - 3x + x^3) = -3 + 3x^2

4. Найдем вторую производную: y'' = d/dx (-3 + 3x^2) = 6x

5. Найдем точки пересечения с осью абсцисс (когда y = 0): 0 = 3 - 3x + x^3 x^3 - 3x + 3 = 0

У нас уже был один корень x ≈ 1.8793852415732.

6. Построим график функции:

Для удобства построения графика, выберем интервал значений x, например, от -2 до 2.

Теперь, используя найденные характеристики функции, построим график:

(Вставка графика функции y = 3 - 3x + x^3)

На графике видно, что функция имеет точку перегиба в окрестности x ≈ 0. Также она пересекает ось абсцисс в точке x ≈ 1.8793852415732 и ось ординат в точке y = 3.

Надеюсь, это решение помогло вам исследовать и построить график функции y = 3 - 3x + x^3.