Question

Найдите промежутки монотонности функции: y=(x+2)*e^4x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y=(x+2)*e^4x,  y`=1*e^4x+(x+2)*4e^4x=e^4x(1+4x+8)=e^4x(4x+9)=0,  x=-9/4

------(-)----*  -9/4------(+)--------, производная отрицат-на  ( -~; -9/4) значит ф-ция там убывает  и  положительна  на (-9/4; +~), значит ф-ция здесь возрастает

Answer 2

Чтобы найти промежутки монотонности функции $y=(x+2)e^{4x}$, нужно вычислить её производную и определить знак производной на различных интервалах.

Пусть $f(x) = (x+2)e^{4x}$. Для нахождения производной $f'(x)$ используем правило производной произведения функций:

$$\begin{align*} f'(x) &= (x+2)\frac{d}{dx}e^{4x} + e^{4x}\frac{d}{dx}(x+2) \\ &= (x+2)\cdot 4e^{4x} + e^{4x} \\ &= 4(x+2)e^{4x} + e^{4x} \\ &= e^{4x}(4x + 8 + 1) \\ &= e^{4x}(4x + 9) \end{align*}$$

Теперь, чтобы найти промежутки монотонности, исследуем знак производной $f'(x)$ на различных интервалах.

1. Интервал $(- \infty, -\frac{9}{4})$:

Для $x < -\frac{9}{4}$, оба множителя в $f'(x) = e^{4x}(4x + 9)$ отрицательны:

• $e^{4x}$ всегда положительно (так как экспоненциальная функция положительна для любого $x$).
• $4x + 9$ отрицательно, так как $4x < -9$ на этом интервале.

Поэтому на интервале $(- \infty, -\frac{9}{4})$ производная $f'(x)$ всегда отрицательна ($f'(x) < 0$), что означает, что функция $f(x)$ убывает на этом интервале.

2. Интервал $(- \frac{9}{4}, \infty)$:

Для $x > -\frac{9}{4}$, оба множителя в $f'(x) = e^{4x}(4x + 9)$ положительны:

• $e^{4x}$ всегда положительно.
• $4x + 9$ положительно, так как $4x > -9$ на этом интервале.

Поэтому на интервале $(- \frac{9}{4}, \infty)$ производная $f'(x)$ всегда положительна ($f'(x) > 0$), что означает, что функция $f(x)$ возрастает на этом интервале.

Итак, промежутки монотонности функции $y=(x+2)e^{4x}$ следующие:

• Убывает на $(- \infty, -\frac{9}{4})$.
• Возрастает на $(- \frac{9}{4}, \infty)$.